• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay

Đề thi giữa kì 2 - Đề số 10

Số câu: 20 câu  Thời gian làm bài: 90 phút

Phạm vi kiểm tra: GK2

Lưu ý: Bạn chỉ có thể làm các câu hỏi trắc nghiệm. HocTot.XYZ chưa hỗ trợ làm các câu hỏi tự luận

Làm từng câu Làm tất cả

Bắt đầu làm bài

a) Tập xác định của bất phương trình là: $D = \\left( {- \\dfrac{1}{2}; + \\infty} \\right)$.

b) Bất phương trình tương đương với bất phương trình: $2x + 1 \\leq 3x$.

c) Tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \\left( {0;1} \\right\\rbrack$.

d) $x = \\dfrac{1}{2}$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.

a) Tập xác định của bất phương trình là: $D = \\left( {- \\dfrac{1}{2}; + \\infty} \\right)$.

b) Bất phương trình tương đương với bất phương trình: $2x + 1 \\leq 3x$.

c) Tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \\left( {0;1} \\right\\rbrack$.

d) $x = \\dfrac{1}{2}$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.

a) Tập xác định của bất phương trình là: $D = \\left( {- \\dfrac{1}{2}; + \\infty} \\right)$.

b) Bất phương trình tương đương với bất phương trình: $2x + 1 \\leq 3x$.

c) Tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \\left( {0;1} \\right\\rbrack$.

d) $x = \\dfrac{1}{2}$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.

Cho bất phương trình $\\log_{0,3}\\left( {2x + 1} \\right) \\leq \\log_{0,3}(3x)$.

a) Tập xác định của bất phương trình là: $D = \\left( {- \\dfrac{1}{2}; + \\infty} \\right)$.

b) Bất phương trình tương đương với bất phương trình: $2x + 1 \\leq 3x$.

c) Tập nghiệm của bất phương trình là: $S = \\left( {0;1} \\right\\rbrack$.

d) $x = \\dfrac{1}{2}$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho.

a) Sai. ĐKXĐ: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}2x + 1 > 0\\\\3x > 0\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}x >  - \\frac{1}{2}\\\\x > 0\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow x > 0\\).

Vậy \\(D = \\left( {0; + \\infty } \\right)\\).

b) Sai. Vì 0,3 < 1 nên \\(2x + 1 \\ge 3x\\).

c) Đúng. \\(2x + 1 \\ge 3x \\Leftrightarrow x \\le 1\\). Kết hợp TXĐ suy ra tập nghiệm là S = (0; 1].

d) Đúng. \\(x = \\frac{1}{2} \\in S\\).

Xét bất phương trình có dạng: \\({\\log _a}f(x) > {\\log _a}g(x)\\). Tìm TXĐ và giải:

- Với a > 1: BPT tương đương \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}f(x) > 0\\\\f(x) > g(x)\\end{array} \\right.\\).

- Với 0 < a < 1: BPT tương đương \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}f(x) > 0\\\\f(x) < g(x)\\end{array} \\right.\\).

Cho hình chóp S.ABCD có $SA\\bot(ABCD)$, $SA = 2a\\sqrt{3}$, ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a. Khi đó:

a) Góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SBC) là góc $60^{o}$.

b) $BD\\bot\\left( {SAC} \\right)$.

c) $SA\\bot AB$.

d) H là hình chiếu của A lên SB. $AH\\bot BC$.

a) Góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SBC) là góc $60^{o}$.

b) $BD\\bot\\left( {SAC} \\right)$.

c) $SA\\bot AB$.

d) H là hình chiếu của A lên SB. $AH\\bot BC$.

a) Góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SBC) là góc $60^{o}$.

b) $BD\\bot\\left( {SAC} \\right)$.

c) $SA\\bot AB$.

d) H là hình chiếu của A lên SB. $AH\\bot BC$.

Cho hình chóp S.ABCD có $SA\\bot(ABCD)$, $SA = 2a\\sqrt{3}$, ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a. Khi đó:

a) Góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng (SBC) là góc $60^{o}$.

b) $BD\\bot\\left( {SAC} \\right)$.

c) $SA\\bot AB$.

d) H là hình chiếu của A lên SB. $AH\\bot BC$.

c) Đúng. \\(SA \\bot (ABCD) \\Rightarrow SA \\bot AB\\).

b) Đúng. \\(\\left. \\begin{array}{l}SA \\bot (ABCD) \\Rightarrow SA \\bot BD\\\\AC \\bot BD\\end{array} \\right\\} \\Rightarrow BD \\bot (SAC)\\).

d) Đúng. H là hình chiếu của A lên SB, do đó \\(AH \\bot SB\\) (1)

Ta có \\(\\left. \\begin{array}{l}\\left. \\begin{array}{l}SA \\bot (ABCD) \\Rightarrow SA \\bot BC\\\\AB \\bot BC\\end{array} \\right\\} \\Rightarrow BC \\bot (SAB)\\\\AH \\subset (SAB)\\end{array} \\right\\} \\Rightarrow BC \\bot AH\\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \\(AH \\bot (SBC) \\Rightarrow AH \\bot BC\\).

a) Sai. Vì \\(\\left. \\begin{array}{l}AH \\bot (SBC)\\\\H \\in (SBC)\\end{array} \\right\\} \\Rightarrow H\\) là hình chiếu của A lên (SBC).

Suy ra HC là hình chiếu của AC lên (SBC).

Ta có \\(\\left( {AC,(SBC)} \\right) = \\left( {AC,HC} \\right) = \\widehat {ACH}\\).

Xét tam giác SAB vuông tại A, đường cao AH:

\\(\\frac{1}{{A{H^2}}} = \\frac{1}{{S{A^2}}} + \\frac{1}{{A{B^2}}} = \\frac{1}{{{{\\left( {2a\\sqrt 3 } \\right)}^2}}} + \\frac{1}{{{{\\left( {2a} \\right)}^2}}} \\Rightarrow AH = a\\sqrt 3 \\).

\\(AH \\bot (SBC) \\Rightarrow AH \\bot HC \\Rightarrow \\Delta AHC\\) vuông tại H. Ta có:

\\(\\sin \\widehat {ACH} = \\frac{{AH}}{{AC}} = \\frac{{\\sqrt 3 a}}{{2\\sqrt 2 a}} = \\frac{{\\sqrt 6 }}{4} \\Rightarrow \\widehat {ACH} \\approx {38^o}\\).

Áp dụng các điều kiện, tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hình chiếu vuông góc, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Ta coi năm lấy làm mốc để tính dân số của một vùng (hoặc một quốc gia) là năm 0. Khi đó, dân số của quốc gia đó ở năm thứ t là hàm số theo biến t được cho bởi công thức \\(S = A.{e^{r.t}}\\). Trong đó A là dân số của vùng (hoặc quốc gia) đó ở năm 0 và r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Biết rằng dân số Việt Nam năm 2021 ước tính là 98 564 407 người và tỉ lệ tăng dân số hằng năm là 0,93%. Hỏi từ năm nào trở đi, dân số nước ta vượt 120 triệu người?

Thay số vào công thức đề bài cho để tính.

Ta có 93% = 0,0093.

Dân số nước ta sau t năm là: \\(S = 98564407.{e^{0,0093t}}\\).

Để dân số nước ta vượt 120 triệu người thì \\(S > 120000000\\)

\\( \\Leftrightarrow 98564407.{e^{0,0093t}} > 120000000 \\Leftrightarrow t > 21,16\\).

Vậy, kể từ năm 2021 + 22 = 2043 trở đi, dân số nước ta vượt 120 triệu người.

1. Hàm số mũ

Đây là một mô hình toán học thường được dùng để mô tả sự thay đổi của một đại lượng theo thời gian khi tốc độ thay đổi của nó tỷ lệ thuận với chính đại lượng đó. Trong trường hợp này, đại lượng là dân số, và giả định rằng tốc độ tăng dân số (tỷ lệ phần trăm) là không đổi qua các năm.

Công thức cụ thể được sử dụng trong bài toán là $S = A.{e^{r.t}}$.

S: Đây là đại lượng mà chúng ta muốn tính, thể hiện dân số của vùng hoặc quốc gia sau thời gian t kể từ mốc ban đầu.

A: Đây là dân số ban đầu của vùng hoặc quốc gia đó tại năm được chọn làm mốc (năm 0).

e: Đây là cơ số của logarit tự nhiên, một hằng số toán học xấp xỉ bằng 2.71828.

r: Đây là tỷ lệ tăng dân số hàng năm. Trong công thức này, tỷ lệ này thường được biểu diễn dưới dạng số thập phân (ví dụ: 0,93% sẽ là 0.0093).

t: Đây là số năm tính từ năm được chọn làm mốc.

2. Bất phương trình mũ

Bài toán dân số dẫn đến bất phương trình có dạng cơ bản là bất phương trình mũ: ${a^x} > b$ (hoặc các dấu bất đẳng thức khác như <, ≤, ≥).

Công thức giải cơ bản cho ${a^x} > b$ khi b > 0 và a > 1 là: ${a^x} > b \\Leftrightarrow {\\log _a}{a^x} > {\\log _a}b \\Leftrightarrow x > {\\log _a}b$. Tương tự cho các dấu bất đẳng thức khác.

Để đặc trưng cho độ to nhỏ của âm, người ta đưa ra khái niệm mức cường độ của âm. Một đơn vị thường dùng để đo mức cường độ của âm là đếnxinben (viết tắt là dB). Khi đó mức cường độ L của âm được tính theo công thức: $L(dB) = 10 \\log \\frac{I}{I_0}$ trong đó, $I$ là cường độ của âm tại thời điểm đang xét, $I_0$ cường độ âm ở ngưỡng nghe ($I_0 = 10^{-12} , \\text{W/m}^2$)
Hai cây đàn ghita giống nhau, cùng hòa tấu một bản nhạc. Mỗi chiếc đàn phát ra âm có mức cường độ âm trung bình là 60 dB. Hỏi mức cường độ âm tổng cộng do hai chiếc đàn cùng phát ra là bao nhiêu (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Muốn xử lý bài toán này các em phải chú ý rằng khi dùng một chiếc đàn có cường độ của âm là $I_1$, thì khi ta dùng hai chiếc đàn cùng một lúc thì cường độ của âm là $2I_1$.

Mức cường độ âm do một chiếc đàn ghita phát ra là:

$L = 10 \\log \\frac{I}{I_0} = 60$ dB.

Mức cường độ âm đo hai chiếc đàn ghita cùng phát ra là:

$L_2 = 10 \\log \\frac{2I_1}{I_0} $

$= 10 \\log 2 + 10 \\log \\frac{I_1}{I_0} $

$= 10\\cdot \\log 2 + 60 \\approx 63$ dB.

\n

Hai mái nhà trong hình bên là hai hình chữ nhật. Giả sử AB = 3,8 m; Om = 2,2 m; OB = 3 m. Tính số đo góc phẳng nhị diện tạo bởi hai mái nhà (đơn vị: độ; làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

\n

\n

Áp dụng quy tắc xác định góc nhị diện và định lý cosin cho tam giác để tính.

Giả sử hai mái ngói là hai hình chữ nhật OAA’O’ và OBB’O’. Khi đó:

\\(\\left\\{ \\begin{array}{l}\\left( {OAA'O'} \\right) \\cap \\left( {OBB'O'} \\right) = OO'\\\\OA \\bot OO',\\,OA \\subset \\left( {OAA'O'} \\right)\\\\OB \\bot OO',\\,OB \\subset \\left( {OBB'O'} \\right)\\end{array} \\right.\\) nên \\(\\widehat {AOB}\\) là góc phẳng nhị diện \\(\\left[ {A,OO',B} \\right]\\). Vậy \\(\\widehat {AOB} = \\alpha \\).

Áp dụng định lý cosin cho tam giác OAB ta được:

\\(\\cos \\widehat {AOB} = \\cos \\alpha  = \\frac{{O{A^2} + O{B^2} - A{B^2}}}{{2.OA.OB}} \\)

\\(= \\frac{{2,{2^2} + {3^2} - 3,{8^2}}}{{2.2,2.3}} =  - \\frac{1}{{22}} \\).

Vậy \\(\\widehat {AOB} \\approx 92^o\\).

Một ngôi nhà có cấu trúc và một số kích thước được mô tả như như hình bên: Phần dưới có dạng hình hộp chữ nhật với một mặt bên là BCHK phần trên có dạng hình lăng trụ đứng có một đáy là ABC, HE = 12 m, HK = 10 m, HC = 5 m. Biết rằng AB = AC và góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng chứa hai mái nhà có số đo bằng $120^{o}$. Thể tích của ngôi nhà, không tính phần mái đưa ra là bao nhiêu mét khối (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của mét khối)?

Coi ngôi nhà là hình lăng trụ với một trong hai đáy là mặt phẳng (ABKHC). Áp dụng công thức tính thể tích khối lăng trụ: V = Bh, trong đó B là diện tích đáy, h là chiều cao của lăng trụ.

Góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng chứa hai mái nhà có số đo bằng $\\widehat{BAC} = 120^{o}$.

Gọi N là hình chiếu vuông góc của A trên mặt nền nhà, M là giao điểm của BC và AN.

Ta có $\\widehat{BAM} = 60^{o}$ và $\\left. BM = 5\\Rightarrow\\tan\\widehat{BAM} = \\dfrac{BM}{AM} \\right.$

$\\left. \\Rightarrow AM = \\dfrac{BM}{\\tan\\widehat{BAM}} = \\dfrac{5}{\\tan 60^{o}} = \\dfrac{5\\sqrt{3}}{3} \\right.$.

Thể tích của ngôi nhà là:

$V = S_{ABKHC} \\cdot HE = \\left( {5 \\cdot 10 + \\dfrac{1}{2} \\cdot 10 \\cdot \\dfrac{5\\sqrt{3}}{3}} \\right) \\cdot 12 \\approx 773$ $\\left( {~m^{3}} \\right)$.

Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) \\({3^{\\frac{1}{x}}} = 4\\);

b) \\({2^{{x^2} - 3x}} = 4\\);

c) \\({\\log _4}(x + 1) + {\\log _4}(x - 3) = 3\\);

d) \\({\\left( {\\frac{1}{5}} \\right)^{{x^2} - 2x}} \\ge \\frac{1}{{125}}\\);

e) \\({(2 - \\sqrt 3 )^x} \\le {(2 + \\sqrt 3 )^{x + 2}}\\);

f) \\(\\log \\left( {3{x^2} + 1} \\right) > \\log (4x)\\).

a) \\({3^{\\frac{1}{x}}} = 4\\) (ĐK: \\(x \\ne 0\\))

\\( \\Leftrightarrow \\frac{1}{x} = {\\log _3}4 \\Leftrightarrow x = {\\log _4}3\\) (TM).

Vậy phương trình có tập nghiệm \\(x = {\\log _4}3\\).

b) \\({2^{{x^2} - 3x}} = 4\\)

\\( \\Leftrightarrow {2^{{x^2} - 3x}} = {2^2}\\)

\\(\\Leftrightarrow {x^2} - 3x = 2\\)

\\(\\Leftrightarrow \\left[ \\begin{array}{l}x = \\frac{{3 + \\sqrt {17} }}{2}\\\\x = \\frac{{3 - \\sqrt {17} }}{2}\\end{array} \\right.\\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \\(S = \\left\\{ {\\frac{{3 - \\sqrt {17} }}{2};\\frac{{3 + \\sqrt {17} }}{2}} \\right\\}\\).

c) \\({\\log _4}(x + 1) + {\\log _4}(x - 3) = 3\\) (ĐK: x > 3)

\\( \\Leftrightarrow {\\log _4}\\left[ {\\left( {x + 1} \\right)\\left( {x - 3} \\right)} \\right] = 3\\)

\\(\\Leftrightarrow \\left( {x + 1} \\right)\\left( {x - 3} \\right) = {4^3}\\)

\\(\\Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 64\\)

\\(\\Leftrightarrow {x^2} - 2x - 67 = 0\\)

\\(\\Leftrightarrow \\left[ \\begin{array}{l}x = 1 + 2\\sqrt {17} (TM) \\\\x = 1 - 2\\sqrt {17} (L) \\end{array} \\right.\\)

Vậy nghiệm của phương trình là \\(x = 1 + 2\\sqrt {17}\\).

d) \\({\\left( {\\frac{1}{5}} \\right)^{{x^2} - 2x}} \\ge \\frac{1}{{125}} \\)

\\(\\Leftrightarrow {\\left( {\\frac{1}{5}} \\right)^{{x^2} - 2x}} \\ge {\\left( {\\frac{1}{5}} \\right)^3} \\)

\\(\\Leftrightarrow {x^2} - 2x \\le 3 \\)

\\(\\Leftrightarrow  - 1 \\le x \\le 3\\).

Vậy phương trình có tập nghiệm \\(S = \\left[ { - 1;3} \\right]\\).

e) \\({(2 - \\sqrt 3 )^x} \\le {(2 + \\sqrt 3 )^{x + 2}} \\)

\\(\\Leftrightarrow {\\left( {2 + \\sqrt 3 } \\right)^{ - x}} \\le {(2 + \\sqrt 3 )^{x + 2}} \\)

\\(\\Leftrightarrow  - x \\le x + 2 \\)

\\(\\Leftrightarrow x \\ge  - 1\\).

Vậy bất phương trình có tập nghiệm \\(S = \\left[ { - 1; + \\infty } \\right)\\).

f) \\(\\log \\left( {3{x^2} + 1} \\right) > \\log (4x) \\) (ĐK: x > 0)

\\(\\Leftrightarrow 3{x^2} + 1 > 4x \\Leftrightarrow \\left[ \\begin{array}{l}x < \\frac{1}{3}\\\\x > 1\\end{array} \\right.\\)

Kết hợp với điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm \\(S = \\left( {0 ;\\frac{1}{3}} \\right) \\cup \\left( {1; + \\infty } \\right)\\).

Tìm điều kiện của các phương trình sau đó giải.

Cho tứ diện O.ABC có OA vuông góc với mặt phẳng (OBC) và có A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm của OA, AB, AC. Vẽ OH là đường cao của tam giác OBC. Chứng minh rằng: $B'C'\\bot(OAH)$.

Vì $OA\\perp(OBC)$; $BC\\in(OBC)$ nên $OA\\perp CB$.

Ta có đường thẳng $BC$ vuông góc với hai đường thẳng $OH$ và $OA$ cắt nhau cùng thuộc $(AOH)$ nên $BC\\perp(OAH)$.

Mà tam giác $ABC$ có $B'C'$ là đường trung bình nên $B'C' \\parallel BC$.

Suy ra $B'C'\\perp(AOH)$.

Áp dụng điều kiện và tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.