• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay

Đề thi học kì 1 - Đề số 6

Số câu: 21 câu  Thời gian làm bài: 90 phút

Phạm vi kiểm tra: HK1

Lưu ý: Bạn chỉ có thể làm các câu hỏi trắc nghiệm. HocTot.XYZ chưa hỗ trợ làm các câu hỏi tự luận

Làm từng câu Làm tất cả

Bắt đầu làm bài

a) $|\\vec{a}| = \\sqrt{6}$.

b) Tọa độ của $\\vec{u} = -2\\vec{a} + 3\\vec{b}$ là $(10; -5; 4)$.

c) Vectơ $\\vec{c}$ cùng phương với vectơ $\\vec{b}$ thì $x + y = 3$.

d) Gọi $\\varphi$ là góc giữa hai vectơ $\\vec{a}$ và $\\vec{b}$. Khi đó $\\cos \\varphi = -\\frac{2}{3}$.

a) $|\\vec{a}| = \\sqrt{6}$.

b) Tọa độ của $\\vec{u} = -2\\vec{a} + 3\\vec{b}$ là $(10; -5; 4)$.

c) Vectơ $\\vec{c}$ cùng phương với vectơ $\\vec{b}$ thì $x + y = 3$.

d) Gọi $\\varphi$ là góc giữa hai vectơ $\\vec{a}$ và $\\vec{b}$. Khi đó $\\cos \\varphi = -\\frac{2}{3}$.

a) $|\\vec{a}| = \\sqrt{6}$.

b) Tọa độ của $\\vec{u} = -2\\vec{a} + 3\\vec{b}$ là $(10; -5; 4)$.

c) Vectơ $\\vec{c}$ cùng phương với vectơ $\\vec{b}$ thì $x + y = 3$.

d) Gọi $\\varphi$ là góc giữa hai vectơ $\\vec{a}$ và $\\vec{b}$. Khi đó $\\cos \\varphi = -\\frac{2}{3}$.

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho ba vectơ $\\vec{a} = (-2; 1; 1)$, $\\vec{b} = (2; -1; 1)$, $\\vec{c} = (x; 1; y)$. Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:

a) $|\\vec{a}| = \\sqrt{6}$.

b) Tọa độ của $\\vec{u} = -2\\vec{a} + 3\\vec{b}$ là $(10; -5; 4)$.

c) Vectơ $\\vec{c}$ cùng phương với vectơ $\\vec{b}$ thì $x + y = 3$.

d) Gọi $\\varphi$ là góc giữa hai vectơ $\\vec{a}$ và $\\vec{b}$. Khi đó $\\cos \\varphi = -\\frac{2}{3}$.

a) Đúng. \\(\\left| {\\overrightarrow a } \\right| = \\sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {1^2}}  = \\sqrt 6 \\).

b) Sai. \\(\\overrightarrow u  = \\left( { - 2.( - 2) + 3.2; - 2.1 + 3.( - 1); - 2.1 + 3.1} \\right) = \\left( {10; - 5;1} \\right)\\).

c) Sai. \\(\\overrightarrow c \\) cùng phương với \\(\\overrightarrow b \\) khi \\(\\overrightarrow c  = k\\overrightarrow b  \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}x = 2k\\\\1 =  - k\\\\y = k\\end{array} \\right.\\)

\\( \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}k =  - 1\\\\x =  - 2\\\\y =  - 1\\end{array} \\right. \\Rightarrow x + y =  - 3\\).

d) Đúng. \\(\\cos \\varphi  = \\frac{{\\overrightarrow a .\\overrightarrow b }}{{\\left| {\\overrightarrow a } \\right|.\\left| {\\overrightarrow b } \\right|}} = \\frac{{ - 2.2 + 1.( - 1) + 1.1}}{{\\sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2} + {1^2}} .\\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}} }} =  - \\frac{2}{3}\\).

a) \\(\\overrightarrow a  = (x;y;z) \\Rightarrow \\left| {\\overrightarrow a } \\right| = \\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \\).

b) Cho \\(\\overrightarrow a ({x_a};{y_a};{z_a})\\), \\(\\overrightarrow b ({x_b};{y_b};{z_b})\\) và số thực k.

+ \\(\\overrightarrow a  + \\overrightarrow b  = ({x_a} + {x_b};{y_a} + {y_b};{z_a} + {z_b})\\).

+ \\(\\overrightarrow a  - \\overrightarrow b  = ({x_a} - {x_b};{y_a} - {y_b};{z_a} - {z_b})\\).

+ \\(k\\overrightarrow a  = (k{x_a};k{y_a};k{z_a})\\).

c) Nếu \\(\\overrightarrow a \\) cùng phương với \\(\\overrightarrow b \\) thì \\(\\overrightarrow a  = k\\overrightarrow b \\).

d) \\(\\cos \\alpha  = \\frac{{\\overrightarrow a .\\overrightarrow b }}{{\\left| {\\overrightarrow a } \\right|.\\left| {\\overrightarrow b } \\right|}} = \\frac{{{x_a}.{x_b} + {y_a}.{y_b} + {z_a}.{z_b}}}{{\\sqrt {{x_a}^2 + {y_a}^2 + {z_a}^2} .\\sqrt {{x_b}^2 + {y_b}^2 + {z_b}^2} }}\\).

a) Đúng. Số thửa ruộng được khảo sát là: n = 3 + 4 + 6 + 5 + 5 + 2 = 25.

b) Đúng. Từ biểu đồ, ta có bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu như sau:

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu đã cho là: R = 6,7 – 5,5 = 1,2 (tấn/ha).

c) Sai. Ta có:

Cỡ mẫu n = 25.

Gọi \\({x_1};...;{x_{25}}\\) là mẫu số liệu gốc về năng suất của một số thửa ruộng được khảo sát được xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \\(\\frac{{{x_6} + {x_7}}}{2} \\in \\) [5,7; 5,9). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \\({Q_1} = 5,7 + \\frac{{\\frac{{25}}{4} - 3}}{4}\\left( {5,9 - 5,7} \\right) = 5,8625\\).

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \\(\\frac{{{x_{19}} + {x_{20}}}}{2} \\in \\) [6,3; 6,5). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \\({Q_3} = 6,3 + \\frac{{\\frac{{3.25}}{4} - \\left( {3 + 4 + 6 + 5} \\right)}}{5}\\left( {6,5 - 6,3} \\right) = 6,33\\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \\({\\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 6,33 - 5,8625 = 0,4675\\).

d) Đúng. Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: 

\\(\\overline x  = \\frac{{3.5,6 + 4.5,8 + 6.6,2 + 5.6,4 + 2.6,6}}{{25}} = 6,088\\).

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\\({S^2} = \\frac{1}{{25}}\\left[ {3.{{\\left( {5,6} \\right)}^2} + 4.{{\\left( {5,8} \\right)}^2} + 6.{{\\left( {6,0} \\right)}^2} + 5.{{\\left( {6,2} \\right)}^2} + 5.{{\\left( {6,4} \\right)}^2} + 2.{{\\left( {6,6} \\right)}^2}} \\right] - {\\left( {6,088} \\right)^2} = 0,086656\\).

Lập bảng tần số ghép nhóm từ biểu đồ. Áp dụng công thức tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm.

Kết quả khảo sát năng suất (đơn vị: tấn/ha) của một số thửa ruộng được minh họa ở biểu đồ sau:

a) Có 25 thửa ruộng đã được khảo sát.

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là 1,2 (tấn/ha).

c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 6,33.

d) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 0,086656.

a) Có 25 thửa ruộng đã được khảo sát.

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là 1,2 (tấn/ha).

c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 6,33.

d) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 0,086656.

a) Có 25 thửa ruộng đã được khảo sát.

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là 1,2 (tấn/ha).

c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 6,33.

d) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 0,086656.

Kết quả khảo sát năng suất (đơn vị: tấn/ha) của một số thửa ruộng được minh họa ở biểu đồ sau:

a) Có 25 thửa ruộng đã được khảo sát.

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là 1,2 (tấn/ha).

c) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 6,33.

d) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 0,086656.

Cho hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ có đồ thị như sau:

Tính giá trị biểu thức T = a + 2b + 3c + 4d.

Tìm 4 điểm đồ thị đi qua, thay tọa độ vào hàm số, giải hệ tìm các hệ số a, b, c, d.

Do đồ thị đi qua 4 điểm (-1; 0), (0; 4), (1; 2), (2; 0) nên ta có hệ phương trình:

$\\left. \\left\\{ \\begin{array}{l}\n{- a + b - c + d = 0} \\\\\n\\begin{array}{l}\n{d = 4} \\\\\n{a + b + c + d = 2} \\\\\n{8a + 4b + 2c + d = 0}\n\\end{array}\n\\end{array} \\right.\\Leftrightarrow\\left\\{ \\begin{array}{l}\n{a = 1} \\\\\n{b = - 3} \\\\\n{c = 0} \\\\\n{d = 4}\n\\end{array} \\right. \\right.$. Suy ra T = 11.

Một doanh nghiệp dự định sản xuất 200 máy tính bảng dành cho học sinh. Nếu doanh nghiệp đó bán x máy tính bảng \\(\\left( {1 \\le x \\le 200,x \\in \\mathbb{N}} \\right)\\) thì giá bán cho mỗi máy tính bảng là \\(p(x) = 4000 - 10x\\) (nghìn đồng), trong đó chi phí để sản xuất mỗi máy tính bảng là \\(c(x) = {x^2} - 70x + 400 + \\frac{{1000}}{x}\\) (nghìn đồng). Hỏi doanh nghiệp đó sẽ bán bao nhiêu máy tính bảng để lợi nhuận cao nhất?

Lập hàm số biểu diễn lợi nhuận của doanh nghiệp theo x.

Tìm x sao cho hàm số đạt GTLN bằng cách sử dụng đạo hàm.

Lợi nhuận = Doanh thu – Chi phí.

Lợi nhuận khi bán x chiếc máy tính bảng là:

\\(L(x) = x.p(x) - x.c(x)\\)

\\( = x.\\left( {4000 - 10x} \\right) - x.\\left( {{x^2} - 70x + 400 + \\frac{{1000}}{x}} \\right)\\)

\\( = 4000x - 10{x^2} - {x^3} + 70{x^2} - 400x - 1000\\)

\\( =  - {x^3} + 60{x^2} + 3600x - 1000\\).

Ta có \\(L'(x) =  - 3{x^2} + 120x + 3600 = 0 \\Leftrightarrow \\left[ \\begin{array}{l}x = 60\\\\x =  - 20\\end{array} \\right.\\)

Xét trên đoạn [1;200], ta có:

L(1) = 2659; L(60) = 215000; L(200) = -4881000.

Vậy lợi nhuận lớn nhất khi doanh nghiệp bán 60 máy tính.

Tìm GTLN, GTNN của hàm số

Bước 1: Tìm tập xác định (trong trường hợp xét trên đoạn [a;b], tập xác định đang xét chính là đoạn đó).

Bước 2: Tính đạo hàm f’(x). Tìm các giá trị $x_1, x_2, ..., x_n$ thuộc đoạn [a;b] mà tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không tồn tại. (Các điểm này còn được gọi là điểm cực trị hoặc điểm dừng nếu đạo hàm bằng 0, hoặc điểm kì dị nếu đạo hàm không tồn tại).

Bước 3: Tính giá trị của hàm số tại các điểm vừa tìm được ở Bước 2 và tại hai đầu mút của đoạn [a;b]. Tức là tính các giá trị $f(a), f(x_1), f(x_2), ..., f(x_n), f(b)$.

Giá trị lớn nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTLN của hàm số trên đoạn [a;b].

Giá trị nhỏ nhất trong số các giá trị vừa tính chính là GTNN của hàm số trên đoạn [a;b].

Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm O trên trần nhà và lần lượt buộc vào ba điểm A, B, C trên đèn tròn sao cho các lực căng $\\overrightarrow{F_1}, \\overrightarrow{F_2}, \\overrightarrow{F_3}$ lần lượt trên mỗi dây OA, OB, OC đều có độ lớn bằng 60 (N). Cho biết các đường thẳng OA, OB, OC cùng tạo với mặt phẳng ngang một góc bằng $30^o$. Tính trọng lượng của chiếc đèn tròn đó.

Áp dụng tính chất trọng tâm của vecto và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính.

Theo giả thiết ta có O.ABC là hình chóp đều với OA = OB = OC = 60 và góc tạo bởi mỗi đường thẳng OA, OB, OC với (ABC) là $30^{o}$.

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì $OG\\bot(ABC)$ và $\\widehat{OAG} = \\widehat{OBG} = \\widehat{OCG} = 30^{o}$.

Gọi T là trọng lượng của đèn tròn thì $T = \\left| {\\overset{\\rightarrow}{OA} + \\overset{\\rightarrow}{OB} + \\overset{\\rightarrow}{OC}} \\right| = \\left| {3\\overset{\\rightarrow}{OG}} \\right| = 3OG$.

Trong tam giác OAG vuông tại G, ta có:

$OG = OA\\sin\\widehat{OAG} = 60\\sin 30^{o} = 30$.

Vậy trọng lượng của đèn là T = 3.30 = 90 (N).

Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là 8 m, chiều rộng là 6 m và chiều cao là 3 m. Một chiếc đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học. Xét hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với một góc phòng và mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét. Khi đó, tọa độ của điểm treo đèn là I(x; y; z), hãy tính x + y + z.

Áp dụng định nghĩa vecto bằng nhau.

Giả sử căn phòng hình hộp chữ nhật được mô phỏng như hình vẽ.

Khi đó ta có B'(6; 8; 3) và O'(0; 0; 3).

Gọi I(x; y; z) là điểm chính giữa trần nhà của phòng học.

Vì O'A'B'C' là hình chữ nhật nên $\\overset{\\rightarrow}{O^{\\prime}I} = \\overset{\\rightarrow}{IB^{\\prime}}$.

Ta có $\\overset{\\rightarrow}{O'I} = \\left( {x - 0;y - 0;z - 3} \\right)$), $\\overset{\\rightarrow}{IB'} = \\left( {6 - x;8 - y;3 - z} \\right)$ nên:

$\\left. \\overset{\\rightarrow}{O^{\\prime}I} = \\overset{\\rightarrow}{IB^{\\prime}}\\Leftrightarrow\\left\\{ \\begin{array}{l}\n{x - 0 = 6 - x} \\\\\n{y - 0 = 8 - y} \\\\\n{z - 3 = 3 - z}\n\\end{array} \\right.\\Leftrightarrow\\left\\{ \\begin{array}{l}\n{x = 3} \\\\\n{y = 4} \\\\\n{z = 3}\n\\end{array} \\right. \\right.$

Vậy tọa độ điểm treo đèn là I(3; 4; 3) $\\Rightarrow$ x + y + z = 3 + 4 + 3 = 10.

a) Lập bảng biến thiên của hàm số \\(y = \\frac{{{x^2}}}{{x + 1}}\\).

b) Tìm các giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \\(M = \\frac{{{{\\cos }^2}\\alpha }}{{\\cos \\alpha  + 1}}\\).

a) Tập xác định: \\(\\mathbb{R}\\backslash \\left\\{ { - 1} \\right\\}\\).

Ta có \\(y' = \\frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\\left( {x + 1} \\right)}^2}}} \\Rightarrow y' = 0 \\Leftrightarrow \\frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\\left( {x + 1} \\right)}^2}}} = 0 \\Leftrightarrow x =  - 2\\) hoặc \\(x = 0\\).

Ta có bảng biến thiên:

b) Đặt \\(x = \\cos \\alpha \\), ta có \\(M = \\frac{{{x^2}}}{{x + 1}},x \\in \\left( { - 1;1} \\right]\\).

Dựa vào bảng biến thiên ta có \\(\\min M = \\mathop {\\min }\\limits_{\\left( { - 1;1} \\right]} \\frac{{{x^2}}}{{x + 1}} = 0\\) và \\(\\max M = \\mathop {\\max }\\limits_{\\left( { - 1;1} \\right]} \\frac{{{x^2}}}{{x + 1}} = y\\left( 1 \\right) = \\frac{1}{2}\\).

a) Tìm tập xác định, xét dấu đạo hàm.

b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của \\(y = \\frac{{{x^2}}}{{x + 1}}\\) trên \\(\\left( { - 1;1} \\right]\\).

Trong không gian Oxyz, cho A(0; 2; 1), B(3; -2; 1) và C(-2; 5; 7).

a) Tính chu vi của tam giác ABC.

b) Tính \\(\\widehat {BAC}\\).

a) Ta có: \\(\\overrightarrow {AB} \\left( {3; - 4;0} \\right) \\Rightarrow AB = \\sqrt {{3^2} + {{\\left( { - 4} \\right)}^2}}  = 5\\);

\\(\\overrightarrow {AC} \\left( { - 2;3;6} \\right) \\Rightarrow AC = \\sqrt {{{\\left( { - 2} \\right)}^2} + {3^2} + {6^2}}  = 7\\).

\\(\\overrightarrow {BC}  = ( - 5;7;6) \\Rightarrow BC = \\sqrt {{{( - 5)}^2} + {7^2} + {6^2}}  = \\sqrt {110} \\).

Chu vi tam giác ABC là: \\(5 + 7 + \\sqrt {110}  = 12 + \\sqrt {110} \\).

b) \\(\\cos \\left( {\\overrightarrow {AB} ;\\overrightarrow {AC} } \\right) = \\frac{{\\overrightarrow {AB} .\\overrightarrow {AC} }}{{\\left| {\\overrightarrow {AB} } \\right|.\\left| {\\overrightarrow {AC} } \\right|}} = \\frac{{3.\\left( { - 2} \\right) + \\left( { - 4} \\right).3 + 0.6}}{{5.7}} = \\frac{{ - 18}}{{35}} \\).

\\(\\Rightarrow \\cos \\left( {\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow {AC} } \\right) \\approx 121^o\\).

Vậy \\(\\widehat {BAC} = 121^o\\).

a) Sử dụng kiến thức về độ dài đoạn thẳng trong không gian để tính:

Nếu \\(A\\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \\right)\\) và \\(B\\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \\right)\\) thì \\(AB = \\left| {\\overrightarrow {AB} } \\right| = \\sqrt {{{\\left( {{x_B} - {x_A}} \\right)}^2} + {{\\left( {{y_B} - {y_A}} \\right)}^2} + {{\\left( {{z_B} - {z_A}} \\right)}^2}} \\).

b) Sử dụng kiến thức về cosin góc của 2 vectơ trong không gian để tính:

Nếu \\(\\overrightarrow a  = \\left( {x;y;z} \\right)\\) và \\(\\overrightarrow b  = \\left( {x';y';z'} \\right)\\) là hai vectơ khác \\(\\overrightarrow 0 \\) thì \\(\\cos \\left( {\\overrightarrow a ;\\overrightarrow b } \\right) = \\frac{{\\overrightarrow a .\\overrightarrow b }}{{\\left| {\\overrightarrow a } \\right|.\\left| {\\overrightarrow b } \\right|}} = \\frac{{xx' + yy' + zz'}}{{\\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} .\\sqrt {x{'^2} + y{'^2} + z{'^2}} }}\\).

Kết quả khảo sát cân nặng của 80 con tôm càng xanh 5 tháng tuổi ở một khu nuôi tôm được biểu diễn ở biểu đồ tần số dưới đây.

a) Hãy lập bảng tần số ghép nhóm cho mẫu số liệu trên.

b) Hãy tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

a) Bảng tần số ghép nhóm:

b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là: \\(R = 100 - 60 = 40\\) (g).

Gọi \\({x_1};{x_2};...;{x_{80}}\\) là mẫu số liệu gốc gồm cân nặng của 80 con tôm càng xanh 5 tháng tuổi theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \\(\\frac{1}{2}\\left( {{x_{20}} + {x_{21}}} \\right) \\in \\left[ {70;80} \\right)\\). Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\\({Q_1} = 70 + \\frac{{\\frac{{1.80}}{4} - 10}}{{20}}\\left( {80 - 70} \\right) = 75\\).

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \\(\\frac{1}{2}\\left( {{x_{60}} + {x_{61}}} \\right) \\in \\left[ {90;100} \\right)\\). Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\\({Q_3} = 90 + \\frac{{\\frac{{3.80}}{4} - \\left( {10 + 20 + 30} \\right)}}{{20}}\\left( {100 - 90} \\right) = 90\\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \\(\\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = 90 - 75 = 15\\) (g).

‒ Sử dụng công thức tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm: \\(R = {a_{m + 1}} - {a_1}\\).

‒ Sử dụng công thức tính các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm:

Tứ phân vị thứ \\(k\\) được xác định như sau: \\({Q_k} = {u_m} + \\frac{{\\frac{{kn}}{4} - C}}{{{n_m}}}\\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \\right)\\)

trong đó:

• \\(n = {n_1} + {n_2} + ... + {n_k}\\) là cỡ mẫu;

• \\(\\left[ {{u_m};{u_{m + 1}}} \\right)\\) là nhóm chứa tứ phân vị thứ \\(k\\);

• \\({n_m}\\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ \\(k\\);

• \\(C = {n_1} + {n_2} + ... + {n_{m - 1}}\\).

‒ Sử dụng công thức tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm: \\(\\Delta Q = {Q_3} - {Q_1}\\).