• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay

Đề thi học kì 2 - Đề số 10

Số câu: 21 câu  Thời gian làm bài: 90 phút

Phạm vi kiểm tra: HK2

Lưu ý: Bạn chỉ có thể làm các câu hỏi trắc nghiệm. HocTot.XYZ chưa hỗ trợ làm các câu hỏi tự luận

Làm từng câu Làm tất cả

Bắt đầu làm bài

a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phát sóng của đài kiểm soát không lưu trong không gian là $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 360000$.

b) Máy bay đang chuyển động theo đường thẳng d đến vị trí điểm $M\\left( {- 500\\,;\\, 100\\,;\\, 100\\sqrt{11}} \\right)$. Vị trí này nằm ngoài vùng kiểm soát không lưu của đài kiểm soát không lưu sân bay.

c) Thời gian kể từ khi đài kiểm soát không lưu phát hiện may bay đến khi máy ra khỏi vùng kiểm soát không lưu là $\\dfrac{4}{3}$ giờ.

d) Ranh giới vùng phát sóng bên ngoài của đài kiểm soát không lưu trong không gian là mặt cầu có bán kính bằng 300 km.

a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phát sóng của đài kiểm soát không lưu trong không gian là $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 360000$.

b) Máy bay đang chuyển động theo đường thẳng d đến vị trí điểm $M\\left( {- 500\\,;\\, 100\\,;\\, 100\\sqrt{11}} \\right)$. Vị trí này nằm ngoài vùng kiểm soát không lưu của đài kiểm soát không lưu sân bay.

c) Thời gian kể từ khi đài kiểm soát không lưu phát hiện may bay đến khi máy ra khỏi vùng kiểm soát không lưu là $\\dfrac{4}{3}$ giờ.

d) Ranh giới vùng phát sóng bên ngoài của đài kiểm soát không lưu trong không gian là mặt cầu có bán kính bằng 300 km.

a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phát sóng của đài kiểm soát không lưu trong không gian là $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 360000$.

b) Máy bay đang chuyển động theo đường thẳng d đến vị trí điểm $M\\left( {- 500\\,;\\, 100\\,;\\, 100\\sqrt{11}} \\right)$. Vị trí này nằm ngoài vùng kiểm soát không lưu của đài kiểm soát không lưu sân bay.

c) Thời gian kể từ khi đài kiểm soát không lưu phát hiện may bay đến khi máy ra khỏi vùng kiểm soát không lưu là $\\dfrac{4}{3}$ giờ.

d) Ranh giới vùng phát sóng bên ngoài của đài kiểm soát không lưu trong không gian là mặt cầu có bán kính bằng 300 km.

Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu của một sân bay ở vị trí O(0; 0; 0) và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa 600 km. Một máy bay đang chuyển động với vận tốc 900 km/h theo đường thẳng d có phương trình $\\left\\{ \\begin{array}{l} {x = - 1000 + 100t} \\\\ {y = - 300 + 80t} \\\\ {z = 100\\sqrt{11}} \\end{array} \\right.\\left( {t \\in {\\mathbb{R}}} \\right)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu (như hình vẽ). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phát sóng của đài kiểm soát không lưu trong không gian là $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 360000$.

b) Máy bay đang chuyển động theo đường thẳng d đến vị trí điểm $M\\left( {- 500\\,;\\, 100\\,;\\, 100\\sqrt{11}} \\right)$. Vị trí này nằm ngoài vùng kiểm soát không lưu của đài kiểm soát không lưu sân bay.

c) Thời gian kể từ khi đài kiểm soát không lưu phát hiện may bay đến khi máy ra khỏi vùng kiểm soát không lưu là $\\dfrac{4}{3}$ giờ.

d) Ranh giới vùng phát sóng bên ngoài của đài kiểm soát không lưu trong không gian là mặt cầu có bán kính bằng 300 km.

a) Đúng. Phương trình mặt cầu tâm O(0; 0; 0), bán kính 600 km là:

\\({(x - 0)^2} + {(y - 0)^2} + {(z - 0)^2} = {600^2}\\)

\\( \\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} = 36000\\).

b) Đúng. \\(OM = \\sqrt {{{( - 500)}^2} + {{100}^2} + {{(100\\sqrt {11} )}^2}}  \\approx 608\\) km > 600 km.

Do đó vị trí này nằm ngoài vùng kiểm soát không lưu.

c) Sai. Đài kiểm soát không lưu phát hiện may bay đến khi máy ra khỏi vùng kiểm soát không lưu là lúc đường bay d nằm trong mặt cầu.

Giả sử đường thẳng d cắt mặt cầu tại hai điểm B, C. Xét:

\\({( - 1000 + 100t)^2} + {( - 300 + 80t)^2} + {(100\\sqrt {11} )^2} = 36000\\)

\\( \\Leftrightarrow 164{t^2} - 2480t + 8400 = 0 \\Leftrightarrow \\left[ \\begin{array}{l}t = 10\\\\t = \\frac{{210}}{{41}}\\end{array} \\right.\\)

Với t = 10, ta có \\(B\\left( {0;500;100\\sqrt {11} } \\right)\\).

Với \\(t = \\frac{{210}}{{41}}\\), ta có \\(C\\left( { - \\frac{{20000}}{{41}};\\frac{{4500}}{{41}};100\\sqrt {11} } \\right)\\).

\\(BC = \\sqrt {{{\\left( { - \\frac{{20000}}{{41}}} \\right)}^2} + {{\\left( {\\frac{{4500}}{{41}} - 500} \\right)}^2}}  \\approx 625\\) (km).

Thời gian máy bay bay hết quãng đường BC xấp xỉ \\(\\frac{{625}}{{900}} \\approx 0,69\\) giờ.

d) Sai. Ranh giới vùng phát sóng bên ngoài của đài kiểm soát không lưu trong không gian là mặt cầu có bán kính bằng 600 km vì đài kiểm soát không lưu được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa 600 km.

Áp dụng kiến thức về phương trình mặt cầu và phương trình mặt phẳng trong không gian tọa độ.

Trong một cuộc khảo sát 1000 học sinh thì có 200 học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao, trong số học sinh đó có 85% học sinh biết chơi bóng đá. Ngoài ra, có 10% số học sinh không tham gia câu lạc bộ thể thao cũng biết chơi bóng đá. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của nhóm khảo sát.

a) Xác suất chọn được học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao là 0,2.

b) Xác suất chọn được học sinh vừa tham gia câu lạc bộ thể thao vừa biết chơi bóng đá là 0,25.

c) Xác suất chọn được học sinh không biết chơi bóng đá là 0,75.

d) Giả sử học sinh đó biết chơi bóng đá. Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao là 0,68.

a) Xác suất chọn được học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao là 0,2.

b) Xác suất chọn được học sinh vừa tham gia câu lạc bộ thể thao vừa biết chơi bóng đá là 0,25.

c) Xác suất chọn được học sinh không biết chơi bóng đá là 0,75.

d) Giả sử học sinh đó biết chơi bóng đá. Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao là 0,68.

a) Xác suất chọn được học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao là 0,2.

b) Xác suất chọn được học sinh vừa tham gia câu lạc bộ thể thao vừa biết chơi bóng đá là 0,25.

c) Xác suất chọn được học sinh không biết chơi bóng đá là 0,75.

d) Giả sử học sinh đó biết chơi bóng đá. Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao là 0,68.

Trong một cuộc khảo sát 1000 học sinh thì có 200 học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao, trong số học sinh đó có 85% học sinh biết chơi bóng đá. Ngoài ra, có 10% số học sinh không tham gia câu lạc bộ thể thao cũng biết chơi bóng đá. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của nhóm khảo sát.

a) Xác suất chọn được học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao là 0,2.

b) Xác suất chọn được học sinh vừa tham gia câu lạc bộ thể thao vừa biết chơi bóng đá là 0,25.

c) Xác suất chọn được học sinh không biết chơi bóng đá là 0,75.

d) Giả sử học sinh đó biết chơi bóng đá. Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao là 0,68.

Xét các biến cố: \\(A\\): \"Chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao\";

\\(B\\): \"Chọn được học sinh biết chơi bóng đá”.

a) Đúng. Khi đó, \\({\\rm{P}}\\left( A \\right) = \\frac{{200}}{{1000}} = 0,2\\).

b) Sai. Khi đó, \\({\\rm{P}}\\left( {B\\mid A} \\right) = 0,85;{\\rm{P}}\\left( {B\\mid \\overline {A\\,} } \\right) = 0,1\\).

Theo công thức nhân xác suất:

\\({\\rm{P}}\\left( {AB} \\right) = {\\rm{P}}\\left( {BA} \\right) = {\\rm{P}}\\left( A \\right).{\\rm{P}}\\left( {B\\mid A} \\right) \\)

\\(= 0,2.0,85 = 0,17\\).

c) Đúng. Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

\\({\\rm{P}}\\left( B \\right) = {\\rm{P}}\\left( A \\right) \\cdot {\\rm{P}}\\left( {B\\mid A} \\right) + {\\rm{P}}\\left( {\\overline {A\\,} } \\right) \\cdot {\\rm{P}}\\left( {B\\mid \\overline {A\\,} } \\right) \\)

\\(= 0,2 \\cdot 0,85 + 0,8 \\cdot 0,1 = 0,25\\).

\\({\\rm{P}}\\left( {\\overline B } \\right) = 1 - P\\left( B \\right) = 1 - 0,25 = 0,75\\).

d) Đúng. Theo công thức Bayes, xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao, biết học sinh đó chơi được bóng đá là:

\\({\\rm{P}}\\left( {A\\mid B} \\right) = \\frac{{{\\rm{P}}\\left( A \\right) \\cdot {\\rm{P}}\\left( {B\\mid A} \\right)}}{{{\\rm{P}}\\left( B \\right)}} = \\frac{{0,2 \\cdot 0,85}}{{0,25}} = 0,68\\).

Áp dụng định nghĩa xác suất toàn phần, công thức nhân xác suất, xác suất toàn phần, công thức Bayes.

Một bác thợ gốm làm một cái chậu trồng cây, phần trong chậu cây có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng được tô đậm như hình sau quanh trục Ox (đơn vị trên trục là decimet), biết đường cong trong hình là đồ thị hàm số \\(y = \\sqrt {x + 1} \\), đáy chậu và miệng chậu có đường kính lần lượt là 2 dm và 4 dm. Dung tích của chậu là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Từ bán kính đáy chậu và miệng chậu suy ra cận.

Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay.

Với bán kính đáy chậu là 1 dm thì \\(y = 1 \\Rightarrow \\sqrt {x + 1}  = 1 \\Leftrightarrow x = 0\\).

Với bán kính đáy chậu là 2 dm thì \\(y = 2 \\Rightarrow \\sqrt {x + 1}  = 2 \\Leftrightarrow x = 3\\).

Thể tích khối chậu là:

\\(V = \\pi \\int\\limits_0^3 {{{\\left( {\\sqrt {x + 1} } \\right)}^2}dx}  = \\frac{{15\\pi }}{2} \\approx 23,6\\) \\(\\left( {d{m^3}} \\right)\\).

Một sân bóng đá tiêu chuẩn có dạng hình chữ nhật với kích thước đường biên ngang là 68 m; có khung thành rộng 7,32 m và cao 2,44 m nằm ở chính giữa đường biên ngang. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ O là điểm đá phạt góc, trục Ox nằm trên đường biên ngang, trục Oy nằm trên đường biên dọc, trục Oz vuông góc với sân bóng, đơn vị trên mỗi trục là mét (tham khảo hình vẽ). Một quả bóng được đá từ vị trí P(6; 22; 0) với vận tốc 28 m/s theo hướng của vectơ $\\overrightarrow{v} = (15; -11;1)$ về phía khung thành. Giả sử quả bóng là một điểm, quỹ đạo bay của quả bóng là một đường thẳng và khung thành là một phần của mặt phẳng (Ozx). Thời gian bóng từ vị trí điểm P đến khung thành là bao nhiêu giây? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Tìm phương trình đường thẳng d là đường bay của bóng. Tìm giao điểm Q của d và (Oxz). Tính PQ và từ đó tìm thời gian bóng bay từ P đến Q (lấy quãng đường chia vận tốc).

Phương trình quỹ đạo bay của bóng là: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 6 + 15t\\\\y = 22 - 11t\\\\z = t\\end{array} \\right.\\) \\((t \\in \\mathbb{R})\\).

Phương trình mặt phẳng (Oxz) là: y = 0.

Bóng chạm khung thành tại \\(y = 22 - 11t = 0 \\Leftrightarrow t = 2\\).

Điểm bóng chạm khung thành là Q(36; 0; 2).

\\(PQ = \\sqrt {{{(36 - 6)}^2} + {{(0 - 22)}^2} + {{(2 - 0)}^2}}  = 2\\sqrt {347} \\) (m).

Thời gian bóng từ điểm P đến khung thành là \\(\\frac{{2\\sqrt {347} }}{{28}} \\approx 1,33\\) (giây).

Một máy phát tín hiệu P được đặt cố định ở một địa điểm và ta có thể nhận được tín hiệu của máy phát này trong phạm vi của một mặt cầu với bán kính R của nó. Một người cầm máy dò tín hiệu A chuyển động trên đường thẳng d (như hình).

Nếu chọn điểm đặt máy phát tín hiệu P là gốc tọa độ O của hệ trục tọa độ Oxyz thì máy dò A di chuyển theo đường thẳng có phương trình \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 5 - t\\\\y = 5 - t\\\\z = 7 - 2t\\end{array} \\right.\\) (trong đó t(h) là thời gian chuyển động). Mặt cầu giới hạn phạm vi nhận tín hiệu của máy dò A tại thời điểm nó gần máy phát tín hiệu P nhất có tâm I(a;b;c). Tính P = a + b + c.

Xác định tọa độ của I theo t.

Mặt cầu giới hạn phạm vi nhận tín hiệu của máy dò A tại thời điểm nó gần máy phát tín hiệu P nhất có tâm I(a;b;c) sao cho \\(IP \\bot d \\Leftrightarrow \\overrightarrow {IP} .\\overrightarrow {{u_d}}  = 0\\).

Tìm tọa độ các vecto trên, từ đó tìm ra tham số t và kết luận.

Mặt cầu giới hạn phạm vi nhận tín hiệu của máy dò A tại thời điểm nó gần máy phát tín hiệu P nhất có tâm I(a; b; c) sao cho \\(IP \\bot d \\Leftrightarrow \\overrightarrow {IP} .\\overrightarrow {{u_d}}  = 0\\).

Vì I thuộc d nên \\(I(5 - t;5 - t;7 - 2t)\\)

\\(\\Rightarrow \\overrightarrow {PI}  = (5 - t;5 - t;7 - 2t)\\).

Mặt khác \\(\\overrightarrow {{u_d}}  = ( - 1; - 1; - 2)\\).

Do đó \\(\\overrightarrow {IP} .\\overrightarrow {{u_d}}  = 0 \\)

\\(\\Leftrightarrow  - 1(5 - t) - 1(5 - t) - 2(7 - 2t) = 0\\)

\\( \\Leftrightarrow 6t - 24 = 0 \\Leftrightarrow t = 4\\).

Vậy \\(I(1;1; - 1)\\).

Vậy P = a + b + c = 1 + 1 – 1 = 1.

Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc

Trong không gian Oxyz, hai đường thẳng vuông góc với nhau khi tích vô hướng của hai vecto chỉ phương tương ứng bằng 0.

Để điều khiển được 1 tàu thủy, thuyền trường A cần đảm bảo rằng hệ thống điều khiển bánh lái và bánh lái không bị hỏng. Biết rằng xác suất để hệ thống điều khiến bánh lái hoạt động bình thường là 0,8 và bánh lái không bị hỏng là 0,75. Thông qua thực tế thì người ta nhận thấy xác suất ca hai bộ phận này cũng hỏng là 0,03. Hỏi xác suất để chỉ có một bộ phận hỏng trong hai bộ phận kiểm tra là bao nhiêu?

Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần.

Gọi các biến cố:

A: “Hệ thống điều khiển bánh lái hoạt động bình thường”;

B: “Bánh lái không bị hỏng (hoạt động bình thường”;

Suy ra \\(\\overline A \\): “Hệ thống điều khiển bánh lái hỏng”;

\\(\\overline B \\): “Bánh lái hỏng”.

Theo giả thiết, ta có P(A) = 0,8; P(B) = 0,75; \\(P\\left( {\\overline A \\overline B } \\right) = 0,03\\).

Suy ra \\(P\\left( {\\overline A } \\right) = 1 - P\\left( A \\right) = 1 - 0,8 = 0,2\\);

\\(P\\left( {\\overline B } \\right) = 1 - P\\left( B \\right) = 1 - 0,75 = 0,25\\).

Ta có \\(P\\left( {\\overline A } \\right) = P\\left( {\\overline A B} \\right) + P\\left( {\\overline A \\overline B } \\right)\\)

\\(\\Leftrightarrow 0,2 = P\\left( {\\overline A B} \\right) + 0,03 \\Leftrightarrow P\\left( {\\overline A B} \\right) = 0,17\\).

Mặt khác \\(P\\left( {\\overline B } \\right) = P\\left( {A\\overline B } \\right) + P\\left( {\\overline A \\overline B } \\right) \\)

\\(\\Leftrightarrow 0,25 = P\\left( {A\\overline B } \\right) + 0,03 \\Leftrightarrow P\\left( {\\overline A B} \\right) = 0,22\\).

Xác suất để chỉ có một bộ phận hỏng là:

\\(P\\left( {\\overline A B} \\right) + P\\left( {\\overline A B} \\right) = 0,17 + 0,22 = 0,39\\).

1. Xác suất có điều kiện

Xác suất có điều kiện là xác suất của một sự kiện xảy ra khi biết rằng một sự kiện khác đã xảy ra. Xác suất có điều kiện được biểu thị dưới dạng P(X|Y), có nghĩa là xác suất của sự kiện X xảy ra, biết rằng sự kiện Y đã xảy ra.

2. Công thức xác suất toàn phần

Công thức này được sử dụng để tính xác suất của một biến cố B khi không biết trực tiếp, nhưng biết xác suất của B xảy ra dưới các điều kiện của một hệ đầy đủ các biến cố xung khắc $(A_1, A_2, ..., A_n)$. Hệ biến cố $A_1, A_2, ..., A_n$ được gọi là đầy đủ nếu hợp của chúng là không gian mẫu và chúng đôi một xung khắc. Công thức có dạng:

$P(B) = P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) + ... + P(B|A_n)P(A_n)$

\\( = P(B{A_1}) + P(B{A_2}) + ... + P(B{A_n})\\).

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của a thuộc \\(\\left[ {\\pi ;10\\pi } \\right]\\) sao cho \\(\\int\\limits_0^a {\\cos xdx}  = \\frac{1}{2}\\). Số phần tử của S là bao nhiêu?

Áp dụng quy tắc tính tích phân của hàm số lượng giác và công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản. Tìm số giá trị của a thuộc \\(\\left[ {\\pi ;10\\pi } \\right]\\).

\\(\\int\\limits_0^a {\\cos xdx} {\\rm{\\;}} = \\frac{1}{2} \\Leftrightarrow \\sin x\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{^a}\\\\{_0}\\end{array}} \\right. = \\frac{1}{2}\\)

\\( \\Leftrightarrow \\sin a - \\sin 0 = \\frac{1}{2} \\Leftrightarrow \\sin a = \\frac{1}{2}\\)

\\(\\Leftrightarrow \\sin a = \\sin \\frac{\\pi }{6} \\Leftrightarrow \\left[ \\begin{array}{l}a = \\frac{\\pi }{6} + k2\\pi \\\\a = \\frac{{5\\pi }}{6} + k2\\pi \\end{array} \\right.\\) \\((k \\in \\mathbb{Z})\\).

Vì \\(a \\in \\left[ {\\pi ;10\\pi } \\right]\\) nên ta có:

TH1: \\(\\pi  \\le \\frac{\\pi }{6} + k2\\pi  \\le 10\\pi  \\Leftrightarrow \\frac{5}{{12}} \\le k \\le \\frac{{59}}{{12}} \\Rightarrow \\) Các giá trị k nguyên thỏa mãn là \\(k \\in \\{ 1;2;3;4\\} \\), do đó có 4 giá trị a thỏa mãn.

TH2: \\(\\pi  \\le \\frac{{5\\pi }}{6} + k2\\pi  \\le 10\\pi  \\Leftrightarrow \\frac{1}{{12}} \\le k \\le \\frac{{55}}{{12}} \\Rightarrow \\) Các giá trị k nguyên thỏa mãn là \\(k \\in \\{ 1;2;3;4\\} \\), do đó có 4 giá trị a thỏa mãn.

Vậy S có 8 phần tử.

Viết phương trình tham số của đường thẳng \\(a\\) trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường thẳng \\(a\\) đi qua điểm \\(M\\left( {0; - 2; - 3} \\right)\\) và có vectơ chỉ phương \\(\\vec a = \\left( {1; - 5;0} \\right)\\)

b) Đường thẳng \\(a\\) đi qua hai điểm \\(A\\left( {0;0;2} \\right)\\) và \\(B\\left( {3; - 2;5} \\right)\\).

a) Phương trình tham số của đường thẳng \\(a\\) đi qua điểm \\(M\\left( {0; - 2; - 3} \\right)\\) và có vectơ chỉ phương \\(\\vec a = \\left( {1; - 5;0} \\right)\\) là \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 0 + 1t\\\\y =  - 2 - 5t\\\\z =  - 3 + 0t\\end{array} \\right.\\) hay \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = t\\\\y =  - 2 - 5t\\\\z =  - 3\\end{array} \\right.\\).

b) Đường thẳng \\(a\\) đi qua hai điểm \\(A\\left( {0;0;2} \\right)\\) và \\(B\\left( {3; - 2;5} \\right)\\) nên nó nhận \\(\\overrightarrow {AB}  = \\left( {3; - 2;3} \\right)\\) là một vectơ chỉ phương.

Suy ra phương trình tham số của đường thẳng \\(a\\) là \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 0 + 3t\\\\y = 0 - 2t\\\\z = 2 + 3t\\end{array} \\right.\\) hay \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 3t\\\\y =  - 2t\\\\z = 2 + 3t\\end{array} \\right.\\)

a) Phương trình tham số của đường thẳng \\(a\\) đi qua điểm \\(M\\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \\right)\\) và có vectơ chỉ phương \\(\\vec a = \\left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \\right)\\) là \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = {x_0} + {a_1}t\\\\y = {y_0} + {a_2}t\\\\z = {z_0} + {a_3}t\\end{array} \\right.\\).

b) Đường thẳng \\(a\\) đi qua hai điểm \\(A\\) và \\(B\\) nên sẽ nhận \\(\\overrightarrow {AB} \\) là một vectơ chỉ phương. Từ đó viết phương trình đường thẳng \\(a\\) đi qua điểm \\(A\\) và có vectơ chỉ phương là \\(\\overrightarrow {AB} \\).

Cho phương trình \\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y - 10z + 2 = 0\\). Chứng minh rằng phương trình trên là phương trình của một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

Ta có: \\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y - 10z + 2 = 0\\)

\\( \\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2.x.2 - 2.y.1 - 2.z.5 + 2 = 0\\)

\\( \\Leftrightarrow {\\left( {x - 2} \\right)^2} + {\\left( {y - 1} \\right)^2} + {\\left( {z - 5} \\right)^2} = 28\\).

Do đó, phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm I(2; 1; 5) và bán kính \\(R = \\sqrt {28}  = 2\\sqrt 7 \\).

Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để tìm tọa độ tâm, bán kính của mặt cầu: Phương trình mặt cầu tâm \\(I\\left( {a;b;c} \\right)\\), bán kính R có là: \\({\\left( {x - a} \\right)^2} + {\\left( {y - b} \\right)^2} + {\\left( {z - c} \\right)^2} = {R^2}\\).