• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay

Đề thi học kì 2 - Đề số 6

Số câu: 21 câu  Thời gian làm bài: 90 phút

Phạm vi kiểm tra: HK2

Lưu ý: Bạn chỉ có thể làm các câu hỏi trắc nghiệm. HocTot.XYZ chưa hỗ trợ làm các câu hỏi tự luận

Làm từng câu Làm tất cả

Bắt đầu làm bài

a) Có duy nhất một điểm I thuộc đường thẳng $\\Delta$ sao cho $OI = \\sqrt{5}$.

b) Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M cắt và vuông góc với $\\Delta$ là: $\\left\\{ \\begin{array}{l} \\begin{array}{l} {x = 2 + 2t} \\\\ {y = - 2 - 2t} \\\\ {z = 1} \\end{array} \\end{array} \\right.$.

c) Phương trình chính tắc của đường thẳng $\\Delta'$ đi qua điểm M và song song với $\\Delta$ là $\\dfrac{x - 2}{1} = \\dfrac{y + 2}{2} = \\dfrac{z - 1}{- 3}$.

d) Một vectơ chỉ phương của $\\Delta$ là $\\overset{\\rightarrow}{u_{\\Delta}} = (1;2; - 3)$.

a) Có duy nhất một điểm I thuộc đường thẳng $\\Delta$ sao cho $OI = \\sqrt{5}$.

b) Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M cắt và vuông góc với $\\Delta$ là: $\\left\\{ \\begin{array}{l} \\begin{array}{l} {x = 2 + 2t} \\\\ {y = - 2 - 2t} \\\\ {z = 1} \\end{array} \\end{array} \\right.$.

c) Phương trình chính tắc của đường thẳng $\\Delta'$ đi qua điểm M và song song với $\\Delta$ là $\\dfrac{x - 2}{1} = \\dfrac{y + 2}{2} = \\dfrac{z - 1}{- 3}$.

d) Một vectơ chỉ phương của $\\Delta$ là $\\overset{\\rightarrow}{u_{\\Delta}} = (1;2; - 3)$.

a) Có duy nhất một điểm I thuộc đường thẳng $\\Delta$ sao cho $OI = \\sqrt{5}$.

b) Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M cắt và vuông góc với $\\Delta$ là: $\\left\\{ \\begin{array}{l} \\begin{array}{l} {x = 2 + 2t} \\\\ {y = - 2 - 2t} \\\\ {z = 1} \\end{array} \\end{array} \\right.$.

c) Phương trình chính tắc của đường thẳng $\\Delta'$ đi qua điểm M và song song với $\\Delta$ là $\\dfrac{x - 2}{1} = \\dfrac{y + 2}{2} = \\dfrac{z - 1}{- 3}$.

d) Một vectơ chỉ phương của $\\Delta$ là $\\overset{\\rightarrow}{u_{\\Delta}} = (1;2; - 3)$.

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\\Delta:\\left\\{ \\begin{array}{l} \\begin{array}{l} {x = - 2 + t} \\\\ {y = 2t} \\\\ {z = 1 - 3t} \\end{array} \\end{array} \\right.$ và điểm M(2; -2; 1).

a) Có duy nhất một điểm I thuộc đường thẳng $\\Delta$ sao cho $OI = \\sqrt{5}$.

b) Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M cắt và vuông góc với $\\Delta$ là: $\\left\\{ \\begin{array}{l} \\begin{array}{l} {x = 2 + 2t} \\\\ {y = - 2 - 2t} \\\\ {z = 1} \\end{array} \\end{array} \\right.$.

c) Phương trình chính tắc của đường thẳng $\\Delta'$ đi qua điểm M và song song với $\\Delta$ là $\\dfrac{x - 2}{1} = \\dfrac{y + 2}{2} = \\dfrac{z - 1}{- 3}$.

d) Một vectơ chỉ phương của $\\Delta$ là $\\overset{\\rightarrow}{u_{\\Delta}} = (1;2; - 3)$.

a) Sai. Vì \\(I \\in \\Delta \\) nên \\(I( - 2 + t,2t,1 - 3t)\\).

\\(OI = \\sqrt {{{( - 2 + t)}^2} + {{(2t)}^2} + {{(1 - 3t)}^2}} = \\sqrt 5 \\)

\\( \\Leftrightarrow {( - 2 + t)^2} + 4{t^2} + {(1 - 3t)^2} = 5\\)

\\( \\Leftrightarrow 4 - 4t + {t^2} + 4{t^2} + 1 - 6t + 9{t^2} = 5\\)

\\( \\Leftrightarrow 14{t^2} - 10t = 0\\).

Giải phương trình ta được: \\(t = 0\\) hoặc \\(t = \\frac{5}{7}\\).

Vậy có hai điểm I thỏa mãn là \\({I_1}( - 2;0;1)\\) và \\({I_2}\\left( { - \\frac{9}{7};\\frac{{10}}{7}; - \\frac{8}{7}} \\right)\\).

b) Sai. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên \\(\\Delta \\). Vì d cắt và vuông góc với \\(\\Delta \\) tại H, nên d chính là đường thẳng MH.

\\(H \\in \\Delta \\Rightarrow H( - 2 + t,2t,1 - 3t)\\).

\\(\\overrightarrow {MH} = ( - 4 + t,2t + 2, - 3t)\\).

Vì \\(MH \\bot \\Delta \\Rightarrow \\overrightarrow {MH} .\\overrightarrow {{u_\\Delta }} = 0\\):

\\(1.( - 4 + t) + 2.(2t + 2) - 3.( - 3t) = 0\\)

\\( \\Leftrightarrow - 4 + t + 4t + 4 + 9t = 0 \\Leftrightarrow t = 0\\).

Với t = 0, ta có H(-2; 0; 1).

Vectơ chỉ phương của d là \\(\\overrightarrow {MH} = ( - 4;2;0)\\); chọn vectơ cùng phương là \\(\\overrightarrow {{u_d}} = (2; - 1;0)\\).

Đối chiếu với phương trình đề bài cho có tọa độ vectơ chỉ phương là (2; -2; 0); không cùng phương với vectơ có tọa độ (2; -1; 0).

c) Đúng. \\(\\Delta '\\) song song với \\(\\Delta \\) nên có cùng vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow {{u_{\\Delta '}}} = \\overrightarrow {{u_\\Delta }} = (1;2; - 3)\\); \\(\\Delta '\\) đi qua M(2; -2; 1) nên phương trình chính tắc:

\\(\\frac{{x - 2}}{1} = \\frac{{y - ( - 2)}}{2} = \\frac{{z - 1}}{{ - 3}} \\Leftrightarrow \\frac{{x - 2}}{1} = \\frac{{y + 2}}{2} = \\frac{{z - 1}}{{ - 3}}\\).

d) Đúng. Một vectơ chỉ phương của \\(\\Delta \\) là \\(\\overrightarrow {{u_\\Delta }} = (1;2; - 3)\\).

Áp dụng kiến thức về phương trình đường thẳng.

Lớp 12B có 45 học sinh, trong đó có 25 học sinh tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh, 16 học sinh tham gia câu lạc bộ Nhảy, 12 học sinh vừa tham gia câu lạc bộ tiếng Anh vừa tham gia câu lạc bộ Nhảy. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Xét các biến cố sau:

A: “Học sinh được chọn tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh”;

B: “Học sinh được chọn tham gia câu lạc bộ Nhảy”.

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $P(A) = \\dfrac{5}{9}$.

b) $P(B) = \\dfrac{16}{45}$.

c) $P\\left( A \\middle| B \\right) = 0,75$.

d) $P\\left( B \\middle| A \\right) = 0,48$.

a) $P(A) = \\dfrac{5}{9}$.

b) $P(B) = \\dfrac{16}{45}$.

c) $P\\left( A \\middle| B \\right) = 0,75$.

d) $P\\left( B \\middle| A \\right) = 0,48$.

a) $P(A) = \\dfrac{5}{9}$.

b) $P(B) = \\dfrac{16}{45}$.

c) $P\\left( A \\middle| B \\right) = 0,75$.

d) $P\\left( B \\middle| A \\right) = 0,48$.

Lớp 12B có 45 học sinh, trong đó có 25 học sinh tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh, 16 học sinh tham gia câu lạc bộ Nhảy, 12 học sinh vừa tham gia câu lạc bộ tiếng Anh vừa tham gia câu lạc bộ Nhảy. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh. Xét các biến cố sau:

A: “Học sinh được chọn tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh”;

B: “Học sinh được chọn tham gia câu lạc bộ Nhảy”.

Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) $P(A) = \\dfrac{5}{9}$.

b) $P(B) = \\dfrac{16}{45}$.

c) $P\\left( A \\middle| B \\right) = 0,75$.

d) $P\\left( B \\middle| A \\right) = 0,48$.

a) Đúng. \\(P(A) = \\frac{{25}}{{40}} = \\frac{5}{9}\\).

b) Đúng. \\(P(B) = \\frac{{16}}{{45}}\\).

c) Đúng. \\(P(A|B) = \\frac{{P(AB)}}{{P(B)}} = \\frac{{\\frac{{12}}{{45}}}}{{\\frac{{16}}{{45}}}} = \\frac{3}{4} = 0,75\\).

d) Đúng. \\(P(B|A) = \\frac{{P(AB)}}{{P(A)}} = \\frac{{\\frac{{12}}{{45}}}}{{\\frac{5}{9}}} = \\frac{{12}}{{25}} = 0,48\\).

Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A khi biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B và kí hiệu là P(A|B).

Cho hai biến cố A và B bất kì, với P(B) > 0. Khi đó: \\(P(A|B) = \\frac{{P(A \\cap B)}}{{P(B)}}\\).

Một cái trống trường có bán kính các đáy là 30 cm, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có diện tích là \\(1600\\pi \\) \\((c{m^2})\\), chiều dài của trống là 1 m. Biết rằng mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh của trống là các đường Parabol. Hỏi thể tích của cái trống là bao nhiêu lít (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Gắn hệ trục tọa Oxy ở vị trí phù hợp. Tìm phương trình Parabol thông qua các điểm đồ thị đi qua. Từ đó áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay để tính thể tích trống.

Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình.

Thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy là hình tròn bán kính r, diện tích \\(1600\\pi \\) \\((c{m^2})\\). Do đó \\(\\pi {r^2} = 1600\\pi  \\Rightarrow r = 40\\) (cm).

Giả sử Parabol có phương trình \\(y = a{x^2} + bx + c\\), đỉnh I(0; 40), đi qua điểm A(50; 30). Ta có hệ:

\\(\\left\\{ \\begin{array}{l}30 = a{.50^2} + b.50 + c\\\\40 = a{.0^2} + b.0 + c\\\\ - \\frac{b}{{2a}} = 0\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}a =  - \\frac{1}{{250}}\\\\b = 0\\\\c = 40\\end{array} \\right.\\)

Vậy Parabol có phương trình \\(y =  - \\frac{1}{{250}}{x^2} + 40\\).

Thể tích trống là: \\(V = \\pi \\int\\limits_{ - 50}^{50} {{{\\left( { - \\frac{1}{{250}}{x^2} + 40} \\right)}^2}dx}  = \\frac{{406000}}{3}\\pi \\) \\((c{m^3}) \\approx 425\\) (lít).

a) Khối tròn xoay quanh trục Ox

Cho hàm số f(x), g(x) liên tục, không âm trên đoạn \\(\\left[ {a;b} \\right]\\).

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox là

\\(V = \\pi \\int\\limits_a^b {{f^2}(x)dx} \\).

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b quanh trục Ox là

\\(V = \\pi \\int\\limits_a^b {\\left| {{f^2}(x) - {g^2}(x)} \\right|dx} \\).

b) Khối tròn xoay quanh trục Oy

Cho hàm số f(x), g(x) liên tục với mọi \\(y \\in [c,d]\\).

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = f(y), trục tung và hai đường thẳng y = c, y = d quanh trục Oy là

\\(V = \\pi \\int\\limits_c^d {{f^2}(y)dy} \\).

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = f(y), x = g(y) và hai đường thẳng y = c, y = d quanh trục Oy là

\\(V = \\pi \\int\\limits_a^b {\\left| {{f^2}(y) - {g^2}(y)} \\right|dy} \\).

Để chuẩn bị cho ngày hội thao, người ta dựng bốn chiếc cột tại bốn góc của một sân bóng hình chữ nhật với kích thước là 15 m x 25 m. Bốn chiếc cột vuông góc với mặt sân và có chiều cao lần lượt là 3 mét, 4 mét, 6 mét và c mét. Một tấm bạt lớn được căng phẳng với bốn góc được cố định vào đầu bốn cột.

Xét hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ trên (đơn vị trên các trục là mét) thì điểm D’ có tọa độ là (a; b; c). Tìm a – 2b + c.

Quan sát hình vẽ, tìm tọa độ ba điểm A’, B’, C’, từ đó lập phương trình mặt phẳng (A’B’C’D’).

Vì D’ thuộc mặt phẳng (A’B’C’D’) nên tìm được c.

Từ hình vẽ, ta có tọa độ các điểm: A’(0; 0; 3), B’(15; 0; 4), C’(15; 25; 6), D(0; 25; c).

Suy ra \\(\\overrightarrow {A'B'}  = (15;0;1)\\), \\(\\overrightarrow {A'C'}  = (15;25;3)\\).

Ta có \\(\\left[ {\\overrightarrow {A'B'} ,\\overrightarrow {A'C'} } \\right] = \\left( {\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}0&1\\\\{25}&3\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}1&{15}\\\\3&{15}\\end{array}} \\right|;\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{15}&0\\\\{15}&{25}\\end{array}} \\right|} \\right)\\)

\\( = (0.3 - 25.1;1.15 - 3.15;15.25 - 15.0) = ( - 25; - 30;375)\\).

Do đó \\(\\overrightarrow n  = \\frac{1}{5}\\left[ {\\overrightarrow {A'B'} ,\\overrightarrow {A'C'} } \\right] = ( - 5; - 6;75)\\) là một vecto pháp tuyến của (A’B’C’D’).

Phương trình mặt phẳng (A’B’C’D’) là:

\\( - 5(x - 0) - 6(y - 0) + 75(z - 3) = 0\\)

\\( \\Leftrightarrow  - 5x - 6y + 75z - 225 = 0\\).

Vì D’(0; 25; c) thuộc mặt phẳng (A’B’C’D’) nên:

\\( - 5.0 - 6.25 + 75c - 225 = 0 \\Leftrightarrow c = 5\\).

Suy ra D’(0; 25; 5).

Vậy a – 2b + c = 0 – 2.25 + 5 = -45.

Tích có hướng của hai vecto

Đối với hai vecto $\\vec{u}$ và $\\vec{v}$ trong không gian, tích có hướng của chúng, ký hiệu là $\\left[ \\overrightarrow{u},\\overrightarrow{v} \\right]$, là một vecto mới. Vecto kết quả này có tính chất đặc biệt là nó vuông góc với cả hai vecto ban đầu $\\vec{u}$ và $\\vec{v}$.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Một mặt phẳng trong không gian 3D có thể được biểu diễn bằng một phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó (A, B, C) là tọa độ của một vecto pháp tuyến của mặt phẳng, và D là một hằng số. Để tìm D, ta cần thay tọa độ của một điểm bất kỳ mà mặt phẳng đi qua vào phương trình.

Điều kiện một điểm thuộc mặt phẳng:

Nếu một điểm có tọa độ $(x_0, y_0, z_0)$ nằm trên một mặt phẳng, thì khi thay tọa độ của điểm đó vào phương trình của mặt phẳng, phương trình phải được thỏa mãn (tức là đẳng thức phải đúng).

Một người muốn lắp mạng wifi trong nhà. Ông ấy muốn lắp điểm phát wifi sao cho có thể phát sóng đến mọi nơi trong căn nhà mình. Vì thế ông ấy đã xác định một số điểm phát sóng tối đa mà sóng wifi có thể tới trong nhà mình như sau:

+ Cổng nhà để lắp camera an ninh được gắn với điểm A(2; 0; 0).

+ Góc phòng làm việc được gắn với điểm B(1; 3; 0).

+ Sân sau vườn nhà để gắn camera an ninh sau vườn được gắn với điểm C(-1; 0; 3).

+ Góc trong cùng của tầng 2 nhà ông ấy được gắn với điểm D(1; 2; 3).

Khi đó khoảng cách xa nhất mà điểm phát wifi có thể phát sóng đến được là bao nhiêu, biết wifi phát sóng được xem như là hình cầu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Gọi điểm I(a;b;c). Tìm a, b, c để AI = BI = CI = DI.

Gọi I(a; b; c) là điểm phát wifi. Vì khoảng cách xa nhất mà điểm phát wifi có thể phát sóng đến là các điểm A, B, C, D nên I(a; b; c) là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D.

Do đó AI = BI = CI = DI = R. Ta có hệ sau:

\\(\\left\\{ \\begin{array}{l}A{I^2} = B{I^2}\\\\A{I^2} = C{I^2}\\\\A{I^2} = D{I^2}\\end{array} \\right. \\)

\\(\\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}{(a - 2)^2} + {(b - 0)^2} + {(c - 0)^2} = {(a - 1)^2} + {(b - 3)^2} + {(c - 0)^2}\\\\{(a - 2)^2} + {(b - 0)^2} + {(c - 0)^2} = {(a + 1)^2} + {(b - 0)^2} + {(c - 3)^2}\\\\{(a - 2)^2} + {(b - 0)^2} + {(c - 0)^2} = {(a - 1)^2} + {(b - 2)^2} + {(c - 3)^2}\\end{array} \\right.\\)

\\( \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}{a^2} - 4a + 4 + {b^2} + {c^2} = {a^2} - 2a + 1 + {b^2} - 6b + 9 + {c^2}\\\\{a^2} - 4a + 4 + {b^2} + {c^2} = {a^2} + 2a + 1 + {b^2} + {c^2} - 6c + 9\\\\{a^2} - 4a + 4 + {b^2} + {c^2} = {a^2} - 2a + 1 + {b^2} - 4b + 4 + {c^2} - 6c + 9\\end{array} \\right.\\)

\\( \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l} - 2a + 6b = 6\\\\ - 6a + 6c = 6\\\\ - 2a + 4b + 6c = 10\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}a - 3b =  - 3\\\\a - c =  - 1\\\\a - 2b - 3c =  - 5\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}a = 0\\\\b = 1\\\\c = 1\\end{array} \\right.\\)

Vậy I(0; 1; 1), bán kính \\(R = AI = \\sqrt {{{(0 - 2)}^2} + {{(1 - 0)}^2} + {{(1 - 0)}^2}}  = \\sqrt 6 \\).

Khi đó khoảng cách xa nhất mà điểm phát wifi có thể phát sóng đến được là \\(\\sqrt 6  \\approx 2,45\\).

Bài toán yêu cầu xác định khoảng cách xa nhất mà điểm phát wifi có thể phát sóng tới, với giả định tín hiệu phát sóng theo hình cầu và cần phải tới được các vị trí cụ thể (cổng nhà, góc phòng làm việc, sân sau, góc tầng 2). Để đảm bảo tín hiệu tới được tất cả các điểm này và xác định khoảng cách xa nhất, ta có thể hiểu rằng điểm phát wifi được đặt tại một vị trí sao cho nó cách đều các điểm cần phủ sóng xa nhất.

Lý thuyết được ứng dụng để giải bài toán này bao gồm:

1) Hệ tọa độ trong không gian Oxyz: Để biểu diễn vị trí của điểm phát wifi và các điểm cần phủ sóng trong căn nhà, chúng ta sử dụng hệ tọa độ Descartes ba chiều. Mỗi vị trí sẽ được gán một bộ ba số (x;y;z) tương ứng với vị trí của nó trong không gian.

2) Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: Khoảng cách giữa hai điểm $A(x_A; y_A; z_A)$ và $B(x_B; y_B; z_B)$ được tính bằng công thức $\\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$. Công thức này là nền tảng để xác định bán kính phủ sóng từ điểm phát.

3) Khái niệm mặt cầu: Tín hiệu wifi được mô hình hóa như một hình cầu. Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách một điểm cố định (tâm) một khoảng không đổi (bán kính). Điểm phát wifi chính là tâm của mặt cầu này, và khoảng cách xa nhất mà tín hiệu có thể tới được chính là bán kính của mặt cầu đó.

4) Bài toán tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện: Nếu bốn điểm cần phủ sóng không cùng nằm trên một mặt phẳng, chúng sẽ tạo thành một tứ diện. Bài toán đặt điểm phát wifi cách đều bốn điểm này tương đương với việc tìm tâm và bán kính của mặt cầu đi qua bốn điểm đó (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện). Tâm của mặt cầu ngoại tiếp cách đều tất cả các điểm nằm trên mặt cầu.

Công ty X giao cho hai xí nghiệp I và II sản xuất 10000 sản phẩm. Xí nghiệp I sản xuất 4000 sản phẩm và có tỷ lệ phế phẩm là 6%, xí nghiệp II có tỉ lệ phế phẩm là 4%. Công ty có một hệ thống dùng để phát hiện phế phẩm cho các sản phẩm của hai xí nghiệp trên. Biết rằng nếu một phế phẩm đi qua hệ thống thì nó chỉ phát hiện được 95% và hệ thống dự đoán đúng được 92%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm rồi cho đi qua hệ thống. Tính xác suất để sản phẩm được chọn của xí nghiệp I biết rằng sản phẩm đó bị hệ thống báo là phế phẩm (làm tròn kết quả đến hàng phầm trăm).

Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần và công thức Bayes.

Gọi các biến cố:

A: “Sản phẩm do xí nghiệp I sản xuất”.

Suy ra \\(\\overline A \\): “Sản phẩm do xí nghiệp II sản xuất.

B: “Hệ thống thông bảo sản phẩm là phế phẩm”.

Cần tính \\(P\\left( {A|B} \\right) = \\frac{{P\\left( {B|A} \\right).P\\left( A \\right)}}{{P\\left( B \\right)}}\\).

Xí nghiệp II sản xuất 10000 – 4000 = 6000 sản phẩm.

Ta có \\(P\\left( A \\right) = \\frac{{4000}}{{10000}} = 0,4\\), \\(P\\left( {\\overline A } \\right) = \\frac{{6000}}{{10000}} = 0,6\\).

Xác suất hệ thống dự đoán đúng là 0,92; do đó xác suất hệ thống dự đoán sai là 1 – 0,92 = 0,08.

Với sản phẩm của xí nghiệp I, để hệ thống thông báo phế phẩm thì:

+ Phát hiện đúng từ 6% phế phẩm: 0,95.0,06.

+ Phát hiện sai từ 94% sản phẩm tốt: 0,08.0,94.

Do đó xác suất hệ thống thông báo phế phẩm từ xí nghiệp I là:

\\(P\\left( {B|A} \\right) = 0,95.0,06 + 0,08.0,94 = 0,1322\\).

Với sản phẩm của xí nghiệp II, để hệ thống thông báo phế phẩm thì:

+ Phát hiện đúng từ 4% phế phẩm: 0,95.0,04.

+ Phát hiện sai từ 96% sản phẩm tốt: 0,08.0,96.

Do đó xác suất hệ thống thông báo phế phẩm từ xí nghiệp II là:

\\(P\\left( {B|\\overline A } \\right) = 0,95.0,04 + 0,08.0,96 = 0,1148\\).

Xác suất hệ thống thông báo phế phẩm từ cả hai xí nghiệp là:

\\(P\\left( B \\right) = P\\left( A \\right).P\\left( {B|A} \\right) + P\\left( {\\overline A } \\right).P\\left( {B|\\overline A } \\right)\\)

\\( = 0,4.0,1322 + 0,6.0,1148 = 0,12176\\).

Vậy xác suất để sản phẩm được chọn của xí nghiệp I biết rằng sản phẩm đó bị hệ thống báo là phế phẩm là:

\\(P\\left( {A|B} \\right) = \\frac{{P\\left( {B|A} \\right).P\\left( A \\right)}}{{P\\left( B \\right)}} = \\frac{{0,1322.0,4}}{{0,12176}} \\approx 0,43\\).

1. Xác suất có điều kiện

Xác suất có điều kiện là xác suất của một sự kiện xảy ra khi biết rằng một sự kiện khác đã xảy ra. Xác suất có điều kiện được biểu thị dưới dạng P(X|Y), có nghĩa là xác suất của sự kiện X xảy ra, biết rằng sự kiện Y đã xảy ra.

2. Công thức xác suất toàn phần

Công thức này được sử dụng để tính xác suất của một biến cố B khi không biết trực tiếp, nhưng biết xác suất của B xảy ra dưới các điều kiện của một hệ đầy đủ các biến cố xung khắc $(A_1, A_2, ..., A_n)$. Hệ biến cố $A_1, A_2, ..., A_n$ được gọi là đầy đủ nếu hợp của chúng là không gian mẫu và chúng đôi một xung khắc. Công thức có dạng:

$P(B) = P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) + ... + P(B|A_n)P(A_n)$.

3. Công thức Bayes

Công thức Bayes cho phép tính xác suất có điều kiện của một biến cố (A) khi biết một biến cố khác (B) đã xảy ra. Nó liên hệ xác suất có điều kiện P(A|B) với xác suất có điều kiện ngược lại P(B|A) và xác suất riêng của các biến cố P(A) và P(B). Công thức có dạng:

$P(A|B) = \\frac{P(B|A) \\cdot P(A)}{P(B)}$.

Tính tích phân: ${\\int\\limits_{1}^{2}{(x^{2} + \\dfrac{3}{x}}})dx$.

$\\int_{1}^{2} \\left( x^2 + \\frac{3}{x} \\right) dx = \\left( \\frac{x^3}{3} + 3 \\ln(x) \\right) \\bigg|_{1}^{2}$

$= \\left( \\frac{8}{3} + 3 \\ln 2 \\right) - \\left( \\frac{1}{3} + 3 \\ln 1 \\right) = \\frac{7}{3} + 3 \\ln 2$.

Áp dụng công thức tính tích phân của hàm lũy thừa.

Trong không gian tọa độ (Oxyz), cho điểm M(1;2;-2) và mặt phẳng (P): 2x + y – 3z + 1 = 0. Phương trình của đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với (P) có phương trình tham số: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 1 - 4t\\\\y = 2 + bt\\\\z =  - 2 + ct\\end{array} \\right.\\;\\left( {t \\in \\mathbb{R}} \\right)\\). Khi đó giá trị của biểu thức \\(P = {b^2} + {c^2}\\) là bao nhiêu?

Do đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) nên \\(\\overrightarrow u  = \\overrightarrow {{n_P}} \\) là một vecto chỉ phương của đường thẳng cần tìm.

Theo đề bài phương trình tham số của đường thẳng \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 1 - 4t\\\\y = 2 + bt\\\\z =  - 2 + ct\\end{array} \\right.\\;\\left( {t \\in \\mathbb{R}} \\right)\\) nên vecto chỉ phương của đường thẳng cần tìm có dạng \\(\\overrightarrow {u'}  = \\left( { - 4;b;c} \\right)\\).

Tìm b, c sao cho \\(\\overrightarrow u \\) và \\(\\overrightarrow {u'} \\) cùng phương.

Mặt phẳng (P): 2x + y – 3z + 1 = 0 có vecto pháp tuyến là \\(\\overrightarrow {{n_P}}  = \\left( {2;1; - 3} \\right)\\).

Do đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) nên \\(\\overrightarrow u  = \\overrightarrow {{n_P}}  = \\left( {2;1; - 3} \\right)\\) là một vecto chỉ phương của đường thẳng cần tìm.

Theo đề bài phương trình tham số của đường thẳng \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 1 - 4t\\\\y = 2 + bt\\\\z =  - 2 + ct\\end{array} \\right.\\;\\left( {t \\in \\mathbb{R}} \\right)\\) nên vecto chỉ phương của đường thẳng cần tìm có dạng \\(\\overrightarrow {u'}  = \\left( { - 4;b;c} \\right)\\) (2).

Vì \\(\\overrightarrow u \\) và \\(\\overrightarrow {u'} \\) đều là vecto chỉ phương của đường thẳng cần tìm nên chúng cùng phương với nhau.

Suy ra \\(\\frac{2}{{ - 4}} = \\frac{1}{b} = \\frac{{ - 3}}{c} \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}b =  - 2\\\\c = 6\\end{array} \\right.\\)

Vậy \\(P = {b^2} + {c^2} = {( - 2)^2} + {6^2} = 40\\).

Cho mặt cầu (S) có đường kính là AB, biết rằng A(6; 2; −5), B(−4; 0; 7).

a) Tìm toạ độ tâm I và tính bán kính r của mặt cầu (S).

b) Viết phương trình của mặt cầu (S).

a) Tâm I là trung điểm của đoạn AB, nên tọa độ của I là: \\(I\\left( {\\frac{{6 + ( - 4)}}{2};\\frac{{2 + 0}}{2};\\frac{{ - 5 + 7}}{2}} \\right) \\Rightarrow I(1;1;1)\\).

b) Độ dài đoạn AB được tính như sau: \\(AB = \\sqrt {{{(6 - ( - 4))}^2} + {{(2 - 0)}^2} + {{( - 5 - 7)}^2}} = 2\\sqrt {62} \\).

Vậy bán kính r là: \\(r = \\frac{{AB}}{2} = \\frac{{2\\sqrt {62} }}{2} = \\sqrt {62} \\).

a) Tâm I của mặt cầu là trung điểm của đường kính AB. Giả sử \\(A({x_1};{y_1};{z_1})\\) và \\(B({x_2};{y_2};{z_2})\\), thì tọa độ của I là: \\(I\\left( {\\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2};\\frac{{{y_1} + {y_2}}}{2};\\frac{{{z_1} + {z_2}}}{2}} \\right)\\).

Bán kính \\(r\\) của mặt cầu bằng nửa độ dài của đoạn AB. Công thức tính độ dài đoạn AB là:

\\(AB = \\sqrt {{{({x_2} - {x_1})}^2} + {{({y_2} - {y_1})}^2} + {{({z_2} - {z_1})}^2}} \\). Vậy bán kính r là: \\(r = \\frac{{AB}}{2}\\).

b) Phương trình của mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính r là: \\({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {r^2}\\).