• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay

Đề thi học kì 2 - Đề số 7

Số câu: 21 câu  Thời gian làm bài: 90 phút

Phạm vi kiểm tra: HK2

Lưu ý: Bạn chỉ có thể làm các câu hỏi trắc nghiệm. HocTot.XYZ chưa hỗ trợ làm các câu hỏi tự luận

Làm từng câu Làm tất cả

Bắt đầu làm bài

a) Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(\\alpha)$ là $\\overset{\\rightarrow}{n} = (1;1; - 1)$.

b) Điểm M thuộc đường thẳng d.

c) Điểm A có tọa độ dạng $A(t; - 1 - t;2 + 2t)$ với $t \\in {\\mathbb{R}}$ thì A thuộc đường thẳng d.

d) Đường thẳng $\\Delta$ đi qua M, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng $(\\alpha)$ có phương trình là $\\dfrac{x - 1}{2} = \\dfrac{y + 2}{3} = \\dfrac{z - 4}{5}$.

a) Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(\\alpha)$ là $\\overset{\\rightarrow}{n} = (1;1; - 1)$.

b) Điểm M thuộc đường thẳng d.

c) Điểm A có tọa độ dạng $A(t; - 1 - t;2 + 2t)$ với $t \\in {\\mathbb{R}}$ thì A thuộc đường thẳng d.

d) Đường thẳng $\\Delta$ đi qua M, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng $(\\alpha)$ có phương trình là $\\dfrac{x - 1}{2} = \\dfrac{y + 2}{3} = \\dfrac{z - 4}{5}$.

a) Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(\\alpha)$ là $\\overset{\\rightarrow}{n} = (1;1; - 1)$.

b) Điểm M thuộc đường thẳng d.

c) Điểm A có tọa độ dạng $A(t; - 1 - t;2 + 2t)$ với $t \\in {\\mathbb{R}}$ thì A thuộc đường thẳng d.

d) Đường thẳng $\\Delta$ đi qua M, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng $(\\alpha)$ có phương trình là $\\dfrac{x - 1}{2} = \\dfrac{y + 2}{3} = \\dfrac{z - 4}{5}$.

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3; 1; 9), đường thẳng $d:\\left\\{ \\begin{array}{l} {x = t} \\\\ {y = - 1 - t} \\\\ {z = 2 + 2t} \\end{array} \\right.$ và mặt phẳng $(\\alpha):x + y - z + 3 = 0$.

a) Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng $(\\alpha)$ là $\\overset{\\rightarrow}{n} = (1;1; - 1)$.

b) Điểm M thuộc đường thẳng d.

c) Điểm A có tọa độ dạng $A(t; - 1 - t;2 + 2t)$ với $t \\in {\\mathbb{R}}$ thì A thuộc đường thẳng d.

d) Đường thẳng $\\Delta$ đi qua M, cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng $(\\alpha)$ có phương trình là $\\dfrac{x - 1}{2} = \\dfrac{y + 2}{3} = \\dfrac{z - 4}{5}$.

a) Đúng. Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng \\((\\alpha)\\) là \\(\\overrightarrow{n} = (1; 1; -1)\\).

b) Sai. \\(\\left\\{ {\\begin{array}{*{20}{l}}{3 = t}\\\\{1 =  - 1 - t}\\\\{9 = 2 + 2t}\\end{array}} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ {\\begin{array}{*{20}{l}}{t = 3}\\\\{t =  - 2}\\\\{t = \\frac{7}{2}}\\end{array}} \\right.\\) (vô lí)

Vậy điểm \\(M\\) không thuộc đường thẳng \\(d\\).

c) Đúng. \\(\\left\\{ {\\begin{array}{*{20}{l}}{t = t}\\\\{ - 1 - t =  - 1 - t}\\\\{2 + 2t = 2 + 2t}\\end{array}} \\right.\\) (luôn đúng)

Vậy điểm \\(A\\) có tọa độ dạng \\(A(t; -1 - t; 2 + 2t)\\) với \\(t \\in \\mathbb{R}\\) thì \\(A\\) thuộc đường thẳng \\(d\\).

d) Đúng. Gọi \\(N\\) là giao điểm của đường thẳng \\(\\Delta\\) và đường thẳng \\(d\\). Khi đó tọa độ của \\(N\\) có dạng \\(N(t; -1 - t; 2 + 2t)\\).

Ta có: \\(\\overrightarrow{MN} = (t - 3; -2 - t; -7 + 2t)\\).

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng \\((\\alpha)\\) là \\(\\overrightarrow{n} = (1; 1; -1)\\).

Vì \\(\\Delta \\parallel (\\alpha)\\) nên \\(\\overrightarrow{MN} \\cdot \\overrightarrow{n} = 0 \\Leftrightarrow t - 3 - 2 - t + 7 - 2t = 0 \\Leftrightarrow t = 1\\).

Suy ra \\(N(1; -2; 4)\\) và \\(\\overrightarrow{MN} = (-2; -3; -5)\\).

Vậy đường thẳng \\(\\Delta\\) đi qua \\(N(1; -2; 4)\\) và có một vecto chỉ phương là \\((2; 3; 5)\\) nên phương trình đường thẳng \\(\\Delta\\) là \\(\\frac{x - 1}{2} = \\frac{y + 2}{3} = \\frac{z - 4}{5}\\).

a) Mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0 có một vecto pháp tuyến có tọa độ (A;B;C).

b, c) Thay tọa độ điểm M vào phương trình d, nếu có giá trị t thỏa mãn hệ thì M thuộc d.

d) Gọi \\(N\\) là giao điểm của đường thẳng \\(\\Delta\\) và đường thẳng \\(d\\). Biểu diễn tọa độ \\(\\overrightarrow{MN} \\) theo t.

Vì \\(\\Delta \\parallel (\\alpha)\\) nên tích vô hướng của VTCP của \\(\\Delta\\) và VTPT của (\\alpha\\) bằng 0. Từ đó giải ra t và lập phương trình đường thẳng \\(\\Delta\\).

Một két nước ngọt đựng 24 chai nước có khối lượng và hình thức bề ngoài như nhau, trong đó có 16 chai loại I và 8 chai loại II. Bác Tùng lần lượt lấy ra ngẫu nhiên hai chai (lấy không hoàn lại). Xét các biến cố: A: \"Lần thứ nhất lấy ra chai nước loại I\"; B: \"Lần thứ hai lấy ra chai nước loại I\".

a) $\\left. P(B \\middle| A) = \\dfrac{16}{23} \\right.$.

b) $\\left. P(B \\middle| \\overline{A}) = \\dfrac{15}{23} \\right.$.

c) $\\left. P(\\overline{B} \\middle| A) = \\dfrac{8}{23} \\right.$.

d) $\\left. P(\\overline{B} \\middle| \\overline{A}) = \\dfrac{7}{23} \\right.$.

a) $\\left. P(B \\middle| A) = \\dfrac{16}{23} \\right.$.

b) $\\left. P(B \\middle| \\overline{A}) = \\dfrac{15}{23} \\right.$.

c) $\\left. P(\\overline{B} \\middle| A) = \\dfrac{8}{23} \\right.$.

d) $\\left. P(\\overline{B} \\middle| \\overline{A}) = \\dfrac{7}{23} \\right.$.

a) $\\left. P(B \\middle| A) = \\dfrac{16}{23} \\right.$.

b) $\\left. P(B \\middle| \\overline{A}) = \\dfrac{15}{23} \\right.$.

c) $\\left. P(\\overline{B} \\middle| A) = \\dfrac{8}{23} \\right.$.

d) $\\left. P(\\overline{B} \\middle| \\overline{A}) = \\dfrac{7}{23} \\right.$.

Một két nước ngọt đựng 24 chai nước có khối lượng và hình thức bề ngoài như nhau, trong đó có 16 chai loại I và 8 chai loại II. Bác Tùng lần lượt lấy ra ngẫu nhiên hai chai (lấy không hoàn lại). Xét các biến cố: A: \"Lần thứ nhất lấy ra chai nước loại I\"; B: \"Lần thứ hai lấy ra chai nước loại I\".

a) $\\left. P(B \\middle| A) = \\dfrac{16}{23} \\right.$.

b) $\\left. P(B \\middle| \\overline{A}) = \\dfrac{15}{23} \\right.$.

c) $\\left. P(\\overline{B} \\middle| A) = \\dfrac{8}{23} \\right.$.

d) $\\left. P(\\overline{B} \\middle| \\overline{A}) = \\dfrac{7}{23} \\right.$.

$\\overline{A}$: \"Lần thứ nhất lấy ra chai nước loại II\"; $\\overline{B}$: \"Lần thứ hai lấy ra chai nước loại II\";

a) Sai. Sau khi A xảy ra thì két còn 15 chai nước loại I trong số 23 chai. Khi đó: $\\left. P(B \\middle| A) = \\dfrac{15}{23} \\right.$.

b) Sai. Sau khi $\\overline{A}$ xảy ra thì két vẫn còn nguyên 16 chai nước loại I trong số 23 chai. Khi đó: $\\left. P(B \\middle| A) = \\dfrac{16}{23} \\right.$.

c) Đúng. Sau khi A xảy ra thì két vẫn còn nguyên 8 chai nước loại II trong số 23 chai. Khi đó: $\\left. P(\\overline{B} \\middle| A) = \\dfrac{8}{23} \\right.$.

d) Đúng. Sau khi $\\overline{A}$ xảy ra thì két còn 7 chai nước loại II trong số 23 chai. Khi đó: $\\left. P(\\overline{B} \\middle| \\overline{A}) = \\dfrac{7}{23} \\right.$.

Áp dụng định nghĩa xác suất có điều kiện.

Bạn An xác định được phần thân của ấm đun nước siêu tốc được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi một parabol quay quanh trục của nó. Các kích thước của ấm bạn đo được như sau: đường kính đáy ấm bằng 14 cm, đường kính miệng ấm bằng 8 cm, chiều cao thân ấm (phần đựng nước không kể nắp) bằng 20 cm. Hỏi thể tích phần thân ấm là bao nhiêu lít (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Gắn hệ trục tọa độ ở vị trí phù hợp.

Tìm phương trình parabol giới hạn thân ấm.

Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân.

Gắn hệ trục tọa độ như hình.

Giả sử parabol giới hạn thân ấm có phương trình \\(y = a{x^2} + bx + c\\) \\((a \\ne 0)\\).

Parabol đi qua các điểm có tọa độ (7;0), (4;20), (-4;20) nên ta có hệ:

\\(\\left\\{ \\begin{array}{l}0 = a{.7^2} + b.7 + c\\\\20 = a{.4^2} + b.4 + c\\\\20 = a{( - 4)^2} + b( - 4) + c\\end{array} \\right. \\Leftrightarrow \\left\\{ \\begin{array}{l}a =  - \\frac{{20}}{{30}}\\\\b = 0\\\\c = \\frac{{980}}{{33}}\\end{array} \\right.\\)

\\( \\Rightarrow (P):y =  - \\frac{{20}}{{30}}{x^2} + \\frac{{980}}{{33}} \\Leftrightarrow {x^2} = \\frac{{980 - 33y}}{{20}}\\).

Ta có \\(V = \\pi \\int\\limits_0^{20} {\\frac{{980 - 33y}}{{20}}dy}  = 650\\pi \\) \\(\\left( {c{m^3}} \\right)\\).

Vậy thể tích thân ấm là \\(\\frac{{650\\pi }}{{1000}} \\approx 2,04\\) (lít).

1. Phương pháp tọa độ:

Việc sử dụng hệ trục tọa độ là một nguyên tắc cơ bản của hình học giải tích để chuyển bài toán hình học sang bài toán đại số. Hệ trục được chọn sao cho phương trình parabol có dạng đơn giản nhất.

2. Xác định phương trình đường parabol:

Phương trình parabol có dạng \\(y = a{x^2} + bx + c\\) \\(\\left( {a \\ne 0} \\right)\\).

Từ các điểm mà đồ thị qua, thay tọa độ vào phương trình trên để tìm được hệ số a, b, c.

3. Công thức tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân:

Thể tích của khối tròn xoay tạo bởi việc quay đường cong x = f(y) quanh trục Oy, giới hạn bởi các đường thẳng y = a, y = b được tính bằng công thức \\(V = \\pi \\int\\limits_a^b {{f^2}(y)dy} \\). Công thức này dựa trên ý tưởng chia khối tròn xoay thành các \"lát\" hình đĩa mỏng vuông góc với trục quay.

Ông An đang xây một ngôi nhà, trong quá trình xây phải đổ bê tông cho một mái vát để lợp ngói. Ông tính toán việc ghép cốt pha đi qua điểm B trên một chân tường và điểm C trên cột góc nhà, đồng thời mặt ghép cốt pha phải đi qua điểm A trên chân tường còn lại cách điểm O ở góc giao hai chân tường một khoảng 5 m, ông cũng tận dụng một chiếc cột có sẵn để chống mặt ghép (xem hình dưới). Biết rằng hai bức tường được xây vuông góc với nhau, mỗi bức tường đều vuông góc với sàn mái nhà, cột có chiều cao 1 m và cách hai bức tường với cùng khoảng cách 1 m (đỉnh cột là điểm M). Diện tích nhỏ nhất của khung ghép cốt pha ABC là bao nhiêu mét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz ở vị trí phù hợp, tìm tọa độ các điểm và lập phương trình mặt phẳng (ABC). Từ đó, áp dụng công thức tính diện tích $S_{ABC} = \\dfrac{1}{2}\\left| \\left\\lbrack {\\overset{\\rightarrow}{AB},\\overset{\\rightarrow}{AC}} \\right\\rbrack \\right|$ và ứng dụng đạo hàm, tìm GTNN.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O là góc giao hai chân tường, A thuộc trục Ox, B thuộc trục Oy, C thuộc trục Oz sao cho tọa độ các điểm trên đều không âm.

Khi đó O(0; 0; 0), A(5; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), M(1; 1; 1).

Phương trình mặt phẳng (ABC): $\\dfrac{x}{5} + \\dfrac{y}{b} + \\dfrac{z}{c} = 1$.

Vì M(1; 1; 1) thuộc (ABC) nên $\\left. \\dfrac{1}{5} + \\dfrac{1}{b} + \\dfrac{1}{c} = 1\\Rightarrow c = \\dfrac{5b}{4b - 5} \\right.$.

$\\overset{\\rightarrow}{AB} = ( - 5;b;0)$, $\\overset{\\rightarrow}{AC} = ( - 5;0;c)$, $\\left\\lbrack {\\overset{\\rightarrow}{AB},\\overset{\\rightarrow}{AC}} \\right\\rbrack = (bc;5c;5b)$.

Diện tích tam giác ABC là: $S = \\dfrac{1}{2}\\left| \\left\\lbrack {\\overset{\\rightarrow}{AB},\\overset{\\rightarrow}{AC}} \\right\\rbrack \\right| = \\dfrac{1}{2}\\sqrt{{(bc)}^{2} + 25c^{2} + 25b^{2}}$

$= \\dfrac{1}{2}\\sqrt{\\left( {b.\\dfrac{5b}{4b - 5}} \\right)^{2} + 25\\left( \\dfrac{5b}{4b - 5} \\right)^{2} + 25b^{2}}$.

Ta tìm được S đạt GTNN tại b = 2,5. Khi đó S = 9,375 $\\approx$ 9,38.

Một bồn chứa khí hình cầu K có đường kính 10 m tiếp xúc trực tiếp với một bức tường thẳng đứng tại điểm T(-6; 0; 5).

Bồn được che chắn bằng một tấm chắn nghiêng, cố định xuống mặt đất tại các điểm A(0; 16,25; 0) và B(-12; 16,25; 0), đồng thời được chống đỡ bởi các thanh thẳng đứng tại các điểm C(0; 5; 15) và D(-12; 5; 15).

Khoảng cách an toàn giữa tấm chắn E và mặt cầu K là bao nhiêu mét?

Lập phương trình mặt cầu K và tấm chắn E.

Khoảng cách an toàn = OE – Bán kính mặt cầu.

- Tường thẳng đứng là mặt phẳng y = 0.

- Mặt cầu bán kính r = 5 (m), tiếp xúc tường tại T(-6; 0; 5), suy ra tâm O(-6; 5; 5).

- Tấm chắn hiện tại E đi qua A(0; 16,25; 0), B(-12; 16,25; 0), C(0; 5; 15) và D(-12; 5; 15).

Phương trình mặt cầu K: $(x+6)^2 + (y-5)^2 + (z-5)^2 = 25$.

Ta có \\(\\overrightarrow {AB}  = ( - 12;0;0)\\), \\(\\overrightarrow {AC}  = (0; - 11,25;15)\\)

\\( \\Rightarrow \\left[ {\\overrightarrow {AB} ,\\overrightarrow {AC} } \\right] = (0;12;9) \\Rightarrow \\vec n = (0,4,3)\\).

Phương trình mặt phẳng tấm chắn E:

4y + 3z - 65 = 0.

Khoảng cách an toàn giữa E và mặt cầu:

$d(O,E) = \\frac{|4 \\cdot 5 + 3 \\cdot 5 - 65|}{\\sqrt{4^2 + 3^2}} = \\frac{30}{5} = 6$ (m).

Khoảng hở giữa bề mặt: d - r = 6 - 5 = 1 (m).

Một công ty dược phẩm giới thiệu một dụng cụ để kiểm tra sớm bệnh sốt xuất huyết. Về báo cáo kiểm định chất lượng của sản phẩm, họ cho biết như sau: Số người được thử là 8000, trong số đó có 1200 người đã bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết và có 6800 người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết. Khi thử bằng dụng cụ của công ty, trong 1200 người đã bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, có 70% số người đó cho kết quả dương tính, còn lại cho kết quả âm tính. Trong 6800 người không bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, có 5% số người đó cho kết quả dương tính, còn lại cho kết quả âm tính. Chọn ngẫu nhiên một người trong số 8000 nghìn người trên. Tính xác suất để người được chọn bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, biết người đó có kết quả thử nghiệm dương tính (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần và công thức Bayes.

Gọi các biến cố:

A: “Người được chọn nhiễm bệnh sốt xuất huyết”.

Suy ra \\(\\overline A \\): “Người được chọn không nhiễm bệnh sốt xuất huyết”.

B: “Dụng cụ cho kết quả dương tính”.

Suy ra \\(\\overline B \\): “Dụng cụ cho kết quả âm tính”.

Cần tính \\(P(A|B) = \\frac{{P(B|A).P(A)}}{{P(B)}}\\).

Theo giả thiết:

Có 1200 người trong 8000 người nhiễm bệnh nên \\(P(A) = \\frac{{1200}}{{8000}} = 0,15\\).

Có 6800 người trong 8000 người không nhiễm bệnh nên \\(P(\\overline A ) = \\frac{{6800}}{{8000}} = 0,85\\).

Xác suất dụng cụ cho kết quả dương tính đối với người thực sự nhiễm bệnh là 70% nên \\(P(B|A) = 70\\%  = 0,7\\).

Xác suất dụng cụ cho kết quả dương tính đối với người không nhiễm bệnh là 5% nên \\(P(B|\\overline A ) = 5\\%  = 0,05\\).

Chọn ngẫu nhiên một người trong 8000 người, xác suất dụng cụ cho kết quả dương tính là:

\\(P(B) = P(B|A).P(A) + P(B|\\overline A ).P(\\overline A )\\)

\\( = 0,7.0,15 + 0,05.0,85 = 0,1475\\).

Chọn ngẫu nhiên một người trong 8000 người, xác suất để người đó bị nhiễm bệnh sốt xuất huyết, biết người đó có kết quả thử nghiệm dương tính là:

\\(P(A|B) = \\frac{{P(B|A).P(A)}}{{P(B)}} = \\frac{{0,7.0,15}}{{0,1475}} \\approx 0,71\\).

1. Xác suất có điều kiện

Xác suất có điều kiện là xác suất của một sự kiện xảy ra khi biết rằng một sự kiện khác đã xảy ra. Xác suất có điều kiện được biểu thị dưới dạng P(X|Y), có nghĩa là xác suất của sự kiện X xảy ra, biết rằng sự kiện Y đã xảy ra.

2. Công thức xác suất toàn phần

Công thức này được sử dụng để tính xác suất của một biến cố B khi không biết trực tiếp, nhưng biết xác suất của B xảy ra dưới các điều kiện của một hệ đầy đủ các biến cố xung khắc $(A_1, A_2, ..., A_n)$. Hệ biến cố $A_1, A_2, ..., A_n$ được gọi là đầy đủ nếu hợp của chúng là không gian mẫu và chúng đôi một xung khắc. Công thức có dạng:

$P(B) = P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) + ... + P(B|A_n)P(A_n)$.

3. Công thức Bayes

Công thức Bayes cho phép tính xác suất có điều kiện của một biến cố (A) khi biết một biến cố khác (B) đã xảy ra. Nó liên hệ xác suất có điều kiện P(A|B) với xác suất có điều kiện ngược lại P(B|A) và xác suất riêng của các biến cố P(A) và P(B). Công thức có dạng:

$P(A|B) = \\frac{P(B|A) \\cdot P(A)}{P(B)}$.

Cho $F(x) = \\left( {ax^{2} + bx + c} \\right)\\text{e}^{x}$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \\left( {x^{2} + 1} \\right)\\text{e}^{x}$. Tính tổng $S = a + b + c$?

$F'(x) = (2ax + b)e^x + (ax^2 + bx + c)e^x$

$ = [ax^2 + (2a + b)x + b + c]e^x$.

$F(x) = (ax^2 + bx + c)e^x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = (x^2 + 1)e^x$ nên F'(x) = f(x)

$\\begin{cases} a = 1 \\\\ 2a + b = 0 \\\\ b + c = 1 \\end{cases} \\Rightarrow \\begin{cases} a = 1 \\\\ b = -2 \\\\ c = 3 \\end{cases}$

Vậy S = a + b + c = 2.

$F(x) = (ax^2 + bx + c)e^x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = (x^2 + 1)e^x$ nên F'(x) = f(x), từ đó tìm a, b, c.

Lập phương trình tham số của đường thẳng \\(d\\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \\(d\\) đi qua điểm \\(A\\left( {1; - 5;0} \\right)\\) và có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow a  = \\left( {2;0;7} \\right)\\);

b) \\(d\\) đi qua hai điểm \\(M\\left( {3; - 1; - 1} \\right),N\\left( {5;1;2} \\right)\\).

a) Đường thẳng đi qua điểm \\(A\\left( {1; - 5;0} \\right)\\) và có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow a  = \\left( {2;0;7} \\right)\\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 1 + 2t\\\\y =  - 5\\\\z = 7t\\end{array} \\right.\\).

b) Ta có \\(\\overrightarrow {MN}  = \\left( {2;2;3} \\right)\\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \\(\\Delta \\).

Đường thẳng đi qua điểm \\(M\\left( {3; - 1; - 1} \\right)\\) và nhận \\(\\overrightarrow {MN}  = \\left( {2;2;3} \\right)\\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 3 + 2t\\\\y =  - 1 + 2t\\\\z =  - 1 + 3t\\end{array} \\right.\\).

Phương trình tham số của đường thẳng \\(\\Delta \\) đi qua \\({M_0}\\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \\right)\\) và có vectơ chỉ phương \\(\\overrightarrow u  = \\left( {a;b;c} \\right)\\) là: \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = {x_0} + at\\\\y = {y_0} + bt\\\\z = {z_0} + ct\\end{array} \\right.\\).

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \\(\\left( S \\right):{\\left( {x - 1} \\right)^2} + {y^2} + {\\left( {z + 2} \\right)^2} = 9\\) và điểm \\(A\\left( {2;2; - 1} \\right)\\).

a) Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

b) Chứng minh rằng điểm A nằm trong mặt cầu (S).

a) Từ phương trình mặt cầu \\(\\left( S \\right):{\\left( {x - 1} \\right)^2} + {y^2} + {\\left( {z + 2} \\right)^2} = 9\\) ta có tâm của (S) là \\(I\\left( {1;0; - 2} \\right)\\), bán kính là \\(R = 3\\).

b) Ta có \\(IA = \\sqrt {1 + 4 + 1}  = \\sqrt 6  < 3 = R\\) suy ra \\(IA < R\\).

Vậy điểm A nằm trong mặt cầu (S).

a) Từ phương trình mặt cầu xác định được tâm mặt cầu I và bán kính mặt cầu R.

b) Chứng minh IA < R.