• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay
• Học ngay

Đề thi học kì 2 - Đề số 8

Số câu: 21 câu  Thời gian làm bài: 90 phút

Phạm vi kiểm tra: HK2

Lưu ý: Bạn chỉ có thể làm các câu hỏi trắc nghiệm. HocTot.XYZ chưa hỗ trợ làm các câu hỏi tự luận

Làm từng câu Làm tất cả

Bắt đầu làm bài

a) Trong 8 phút tên lửa bay được quãng đường (làm tròn đến hàng đơn vị) xấp xỉ bằng 152 km.

b) Ở phút thứ 4 độ cao của tên lửa là 3 km.

c) Tọa độ của tên lửa sau 12 phút kể từ lúc phóng là (210; 90; 12).

d) Sau 10 phút tiếp theo kể từ vị trí A tên lửa đạt độ cao là 13,5 km.

a) Trong 8 phút tên lửa bay được quãng đường (làm tròn đến hàng đơn vị) xấp xỉ bằng 152 km.

b) Ở phút thứ 4 độ cao của tên lửa là 3 km.

c) Tọa độ của tên lửa sau 12 phút kể từ lúc phóng là (210; 90; 12).

d) Sau 10 phút tiếp theo kể từ vị trí A tên lửa đạt độ cao là 13,5 km.

a) Trong 8 phút tên lửa bay được quãng đường (làm tròn đến hàng đơn vị) xấp xỉ bằng 152 km.

b) Ở phút thứ 4 độ cao của tên lửa là 3 km.

c) Tọa độ của tên lửa sau 12 phút kể từ lúc phóng là (210; 90; 12).

d) Sau 10 phút tiếp theo kể từ vị trí A tên lửa đạt độ cao là 13,5 km.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đơn vị mỗi trục tính bằng km. Một tên lửa phóng từ mặt đất từ vị trí gốc tọa độ O theo hướng, vận tốc không đổi (đặt mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất). Tên lửa đi từ điểm O(0; 0; 0) đến điểm A(140; 60; 6) trong 8 phút.

a) Trong 8 phút tên lửa bay được quãng đường (làm tròn đến hàng đơn vị) xấp xỉ bằng 152 km.

b) Ở phút thứ 4 độ cao của tên lửa là 3 km.

c) Tọa độ của tên lửa sau 12 phút kể từ lúc phóng là (210; 90; 12).

d) Sau 10 phút tiếp theo kể từ vị trí A tên lửa đạt độ cao là 13,5 km.

a) Đúng. \\(OA = \\sqrt {{{140}^2} + {{60}^2} + {6^2}}  \\approx 152\\) (km).

b) Đúng. Phương trình đường đi của tên lửa là \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 140t\\\\y = 60t\\\\z = 6t\\end{array} \\right.\\) \\((t \\in \\mathbb{R})\\).

Tên lửa mất 8 phút để đến vị trí A(140; 60; 6), khi đó t = 1.

Sau 4 phút, ta thay \\(t = \\frac{4}{8} = \\frac{1}{2}\\) vào phương trình cao độ, được: \\(z = 6.\\frac{1}{2} = 3\\).

Vậy ở phút thứ 4, độ cao của tên lửa là 3 km.

c) Sai. Sau 12 phút, ta thay \\(t = \\frac{{12}}{8} = \\frac{3}{2}\\) vào phương trình, được \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 140.\\frac{3}{2} = 210\\\\y = 60.\\frac{3}{2} = 90\\\\z = 6.\\frac{3}{2} = 9\\end{array} \\right.\\).

Vậy vị trí của tên lửa sau 12 phút từ lúc phóng là (210; 90; 9).

d) Đúng. Sau 10 phút tiếp theo từ vị trí A tức là sau 18 phút kể từ lúc phóng.

Ta thay \\(t = \\frac{{18}}{8} = \\frac{9}{4}\\) vào phương trình cao độ: \\(z = 6.\\frac{9}{4} = \\frac{{27}}{2} = 13,5\\).

Vậy sau 10 phút tiếp theo kể từ vị trí A tên lửa đạt độ cao là 13,5 km.

Áp dụng phương trình đường thẳng trong không gian tọa độ.

Một trung tâm ngoại ngữ tổ chức một kỳ thi đánh giá năng lực cho các học viên. Trung tâm thống kê được rằng:

(1) 55% thí sinh là nữ;

(2) trong số các thí sinh nữ có 80% thí sinh vượt qua bài kiểm tra;

(3) trong số các thí sinh nam có 25% thí sinh không vượt qua bài kiểm tra.

Chọn ngẫu nhiên một thí sinh.

a) Xác suất để thí sinh được chọn là nam bằng 0,45.

b) Xác suất để thí sinh được chọn vượt qua bài kiểm tra, biết rằng thí sinh đó là nam, bằng 0,75.

c) Xác suất để thí sinh được chọn vượt qua bài kiểm tra bằng 77,25%.

d) Xác suất để thí sinh được chọn là nữ, biết rằng thí sinh đó không vượt qua bài kiểm tra, nhỏ hơn 0,45.

a) Xác suất để thí sinh được chọn là nam bằng 0,45.

b) Xác suất để thí sinh được chọn vượt qua bài kiểm tra, biết rằng thí sinh đó là nam, bằng 0,75.

c) Xác suất để thí sinh được chọn vượt qua bài kiểm tra bằng 77,25%.

d) Xác suất để thí sinh được chọn là nữ, biết rằng thí sinh đó không vượt qua bài kiểm tra, nhỏ hơn 0,45.

a) Xác suất để thí sinh được chọn là nam bằng 0,45.

b) Xác suất để thí sinh được chọn vượt qua bài kiểm tra, biết rằng thí sinh đó là nam, bằng 0,75.

c) Xác suất để thí sinh được chọn vượt qua bài kiểm tra bằng 77,25%.

d) Xác suất để thí sinh được chọn là nữ, biết rằng thí sinh đó không vượt qua bài kiểm tra, nhỏ hơn 0,45.

Một trung tâm ngoại ngữ tổ chức một kỳ thi đánh giá năng lực cho các học viên. Trung tâm thống kê được rằng:

(1) 55% thí sinh là nữ;

(2) trong số các thí sinh nữ có 80% thí sinh vượt qua bài kiểm tra;

(3) trong số các thí sinh nam có 25% thí sinh không vượt qua bài kiểm tra.

Chọn ngẫu nhiên một thí sinh.

a) Xác suất để thí sinh được chọn là nam bằng 0,45.

b) Xác suất để thí sinh được chọn vượt qua bài kiểm tra, biết rằng thí sinh đó là nam, bằng 0,75.

c) Xác suất để thí sinh được chọn vượt qua bài kiểm tra bằng 77,25%.

d) Xác suất để thí sinh được chọn là nữ, biết rằng thí sinh đó không vượt qua bài kiểm tra, nhỏ hơn 0,45.

A: “Thí sinh được chọn là nữ”; $\\overline{A}$: “Thí sinh được chọn là nam”.

B: “Thí sinh được chọn vượt qua bài kiểm tra”; $\\overline{B}$: “Thí sinh được chọn không vượt qua bài kiểm tra”.

Theo giả thiết: P(A) = 0,55; P(B|A) = 0,8; $\\left. P(\\overline{B} \\middle| \\overline{A}) = 0,25 \\right.$.

a) Đúng. $P(\\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,55 = 0,45$.

b) Đúng. $\\left. P(B \\middle| \\overline{A}) = 1 - P(\\overline{B} \\middle| \\overline{A}) = 1 - 0,25 = 0,75 \\right.$.

c) Sai. $P(B) = P(A)P(B|A) + P(\\bar A)P(B|\\bar A)$

$ = 0,55.0,8 + 0,45.0,75 = 0,7775 = 77,5\\% $.

d) Sai. $P(\\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,7775 = 0,2225$;

$\\left. P(\\overline{B} \\middle| A) = 1 - P(B \\middle| A) = 1 - 0,8 = 0,2 \\right.$.

$\\left. P(A \\middle| \\overline{B}) = \\dfrac{\\left. P(A)P(\\overline{B} \\middle| A) \\right.}{P(\\overline{B})} = \\dfrac{0,55.0,2}{0,2225} \\approx 0,49 > 0,45 \\right.$.

Áp dụng công thức xác suất có điều kiện, công thức xác suất toàn phần.

Một khối bê tông cao 2 m được đặt trên mặt đất phẳng. Nếu cắt khối bê tông này bằng mặt phẳng nằm ngang, cách mặt đất x (m; \\(0 \\le x \\le 2\\)) thì được mặt cắt là hình chữ nhật có chiều dài 5 m, chiều rộng \\(0,{5^x}\\) (m) (hình vẽ).

Thể tích của khối bê tông là bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm của mét khối)?

Áp dụng công thức tính thể tích vật thể \\(V = \\int\\limits_0^2 {S(x)dx} \\).

Chọn trục Ox như hình vẽ.

Khi đó, khối bê tông nằm trong khoảng không gian giữa hai mặt phẳng vuông góc với Ox lần lượt tại các điểm x = 0, x = 2. Mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ x (\\(0 \\le x \\le 2\\)) cắt khối bê tông theo mặt cắt có diện tích là \\(S(x) = 5.0,{5^x}\\) \\(\\left( {{m^2}} \\right)\\).

Do đó, thể tích khối bê tông là:

\\(V = \\int\\limits_0^2 {5.0,{5^x}dx}  = 5\\int\\limits_0^2 {{{\\left( {\\frac{1}{2}} \\right)}^x}dx}  = \\frac{5}{{\\ln \\frac{1}{2}}}.{\\left( {\\frac{1}{2}} \\right)^x}\\left| {\\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\\\{_0}\\end{array}} \\right. = \\frac{5}{{\\ln \\frac{1}{2}}}.{\\left( {\\frac{1}{2}} \\right)^2} - \\frac{5}{{\\ln \\frac{1}{2}}}.{\\left( {\\frac{1}{2}} \\right)^0}\\)

\\( = \\frac{5}{{\\ln \\frac{1}{2}}}.\\left( {\\frac{1}{4} - 1} \\right) =  - \\frac{{15}}{{4\\ln \\frac{1}{2}}} \\approx 5,41\\) \\(\\left( {{m^3}} \\right)\\).

Trong giờ thể dục học về kỹ thuật chuyền bóng hơi, Bình và An tập chuyền bóng cho nhau. Ở một động tác Bình chuyền bóng cho An, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang bên trái của An và rơi xuống vị trí cách chỗ An đứng 0,5 m và cách chỗ Bình 4,5 m. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ O tại vị trí của Bình, vị trí của An nằm trên tia Ox và mặt phẳng (Oxy) là mặt đất (tham khảo hình vẽ).

Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng $(\\alpha)$: x + by + cz + d = 0 và $(\\alpha)$ vuông góc với mặt đất. Khi đó, giá trị của $- 3b^{2} - c^{2} + 2d^{2}$ bằng bao nhiêu?

Tìm tọa độ của Minh và vị trí bóng rơi A.

Lập phương trình mặt phẳng $\\left( {\\alpha\\ } \\right)$ đi qua gốc tọa độ, nhận $\\overset{\\rightarrow}{n}\\ = \\left\\lbrack {\\overset{\\rightarrow}{OA},\\overset{\\rightarrow}{k}} \\right\\rbrack$ làm vecto pháp tuyến.

Quả bóng rơi xuống tại điểm $A(\\sqrt{20};0,5;0)$.

Mặt phẳng $(\\alpha)$: x + by + cz + d = 0 đi qua O nên $d = 0$, điểm $A(\\sqrt{20};0,5;0)$ thuộc $(\\alpha)$ nên có $\\left. \\sqrt{20} + 0,5b = 0\\Leftrightarrow b = - \\dfrac{4}{\\sqrt{5}} \\right.$.

Mặt khác $(\\alpha)$ vuông góc với mặt đất nên:

$\\left. {\\overset{\\rightarrow}{n}}_{(\\alpha)}\\bot{\\overset{\\rightarrow}{n}}_{(Oxy)}\\Leftrightarrow{\\overset{\\rightarrow}{n}}_{(\\alpha)}.\\overset{\\rightarrow}{k} = 0\\Leftrightarrow c = 0 \\right.$.

Vậy mặt phẳng $(\\alpha)$ có phương trình là $(\\alpha)$: $x - 4\\sqrt{5}y = 0$.

Do đó: $- 3b^{2} - c^{2} + 2d^{2} = - 240$.

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu sân bay ở vị trí O(0; 0; 0) và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa 500 km. Một máy bay đang ở vị trí A(-1000; -185; 30) và chuyển động với vận tốc không đổi theo quỹ đạo là đường thẳng d có vectơ chỉ phương $\\vec{u} = (100; 80; 0)$. Tính khoảng cách từ vị trí A đến khi đài kiểm soát không lưu phát hiện được máy bay (đơn vị km, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Gọi M là giao điểm của đường thẳng d với mặt cầu (S). Tính độ dài AM.

Gọi M là giao điểm của đường thẳng d với mặt cầu (S) tâm O bán kính R = 500 (km).

Ta có: $(S): x^2 + y^2 + z^2 = 500^2$;

$d: \\begin{cases} x = -1000 + 100t \\\\ y = -185 + 80t \\\\ z = 30 \\end{cases} \\Rightarrow AM = 20\\sqrt{41}t$

Tìm M:

$(-1000 + 100t)^2 + (-185 + 80t)^2 + 30^2 = 250000$

$\\Leftrightarrow 16400t^2 - 229600t + 785125 = 0$

$\\Leftrightarrow 656t^2 - 9184t + 31405 = 0$

\\( \\Leftrightarrow \\left[ {\\begin{array}{*{20}{l}}{t = \\frac{{1148 + \\sqrt {30299} }}{{164}} \\Rightarrow AM \\approx 1032}\\\\{t = \\frac{{1148 - \\sqrt {30299} }}{{164}} \\Rightarrow AM \\approx 761}\\end{array}} \\right.\\)

Vậy khoảng cách từ vị trí A đến khi đài kiểm soát không lưu phát hiện được máy bay xấp xỉ 761 km.

Một hồi cứu về một bệnh nhân ung thư vú đã phẫu thuật cho kết quả với tỉ lệ sống trên 5 năm là 60% và tỉ lệ di căn là 30%. Biết rằng số bệnh nhân vừa sống trên 5 năm vừa di căn chỉ bằng một nửa số bệnh nhân vừa không di căn vừa sống không quá 5 năm. Một bệnh nhân bị ung thư vú và không di căn, tính xác suất để người này sống trên 5 năm. Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai.

Áp dụng công thức tính xác suất có điều kiện và công thức xác suất toàn phần.

Gọi các biến cố:

A: “Bệnh nhân sống trên 5 năm”;

B: “Bệnh nhân di căn”.

Suy ra \\(\\overline A \\): “Bệnh nhân không sống trên 5 năm”;

\\(\\overline B \\): “Bệnh nhân không di căn”.

Cần tính \\(P\\left( {A|\\overline B } \\right) = \\frac{{P\\left( {A\\overline B } \\right)}}{{P\\left( {\\overline B } \\right)}}\\).

Theo giả thiết, ta có: P(A) = 0,6; P(B) = 0,3; \\(P\\left( {AB} \\right) = \\frac{1}{2}P\\left( {\\overline A \\overline B } \\right)\\).

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

\\(P\\left( A \\right) = P\\left( {AB} \\right) + P\\left( {A\\overline B } \\right)\\); \\(P\\left( B \\right) = P\\left( {AB} \\right) + P\\left( {\\overline A B} \\right)\\).

Ta có \\(P\\left( {AB} \\right) + P\\left( {\\overline A \\overline B } \\right) + P\\left( {\\overline A B} \\right) + P\\left( {A\\overline B } \\right) = 1\\)

\\( \\Leftrightarrow P\\left( {AB} \\right) + 2P\\left( {AB} \\right) + \\left[ {P\\left( B \\right) - P\\left( {AB} \\right)} \\right] + \\left[ {P\\left( A \\right) - P\\left( {AB} \\right)} \\right] = 1\\)

\\( \\Leftrightarrow P\\left( {AB} \\right) + P\\left( B \\right) + P\\left( A \\right) = 1\\)

\\( \\Leftrightarrow P\\left( {AB} \\right) + 0,6 + 0,3 = 1\\)

\\( \\Leftrightarrow P\\left( {AB} \\right) = 0,1\\).

Ta có \\(P\\left( A \\right) = P\\left( {AB} \\right) + P\\left( {A\\overline B } \\right)\\)

\\(\\Leftrightarrow P\\left( {A\\overline B } \\right) = 0,6 - 0,1 = 0,5\\).

\\(P\\left( {\\overline B } \\right) = 1 - P\\left( B \\right) = 1 - 0,3 = 0,7\\).

Vậy \\(P\\left( {A|\\overline B } \\right) = \\frac{{P\\left( {A\\overline B } \\right)}}{{P\\left( {\\overline B } \\right)}} = \\frac{{0,5}}{{0,7}} \\approx 0,71\\).

1. Xác suất có điều kiện

Đây là xác suất xảy ra của một sự kiện B, khi biết rằng một sự kiện A đã xảy ra. Ký hiệu là P(B|A). Nó đo lường khả năng xảy ra của B dưới điều kiện của A. Ngược lại, P(A|B) là xác suất xảy ra của A khi biết B đã xảy ra.

Công thức: $P(A|B) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(B)}$ (với điều kiện P(B) > 0) và $P(B|A) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(A)}$ (với điều kiện P(A) > 0).

2. Công thức xác suất toàn phần

Công thức này được sử dụng để tính xác suất của một biến cố B khi không biết trực tiếp, nhưng biết xác suất của B xảy ra dưới các điều kiện của một hệ đầy đủ các biến cố xung khắc $(A_1, A_2, ..., A_n)$. Hệ biến cố $A_1, A_2, ..., A_n$ được gọi là đầy đủ nếu hợp của chúng là không gian mẫu và chúng đôi một xung khắc. Công thức có dạng:

$P(B) = P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) + ... + P(B|A_n)P(A_n)$

\\( = P(B{A_1}) + P(B{A_2}) + ... + P(B{A_n})\\).

Tính $\\int\\limits_{0}^{1}{\\left( {3 - 5x} \\right)\\left( {x + 1} \\right)\\text{d}x}$.

$\\int_{0}^{1} \\left( 3 - 5x \\right) \\left( x + 1 \\right) dx = \\int_{0}^{1} \\left( -5x^2 - 2x + 3 \\right) dx$

$= \\left. \\left[ -5\\frac{x^3}{3} - x^2 + 3x \\right] \\right|_{0}^{1}$ $= \\frac{1}{3}$.

Áp dụng công thức tích phân của hàm số lũy thừa.

Viết phương trình tham số của đường thẳng \\(d\\) đi qua điểm \\(A\\left( {1;0;1} \\right)\\) và song song với đường thẳng \\(d':\\frac{{x + 1}}{3} = \\frac{{y - 1}}{2} = \\frac{{z - 1}}{4}\\).

Một vectơ chỉ phương của \\(d'\\) là \\(\\vec a = \\left( {3;2;4} \\right)\\).

Do \\(d\\parallel d'\\) nên đường thẳng \\(d\\) cũng nhận vectơ \\(\\vec a = \\left( {3;2;4} \\right)\\) làm một vectơ chỉ phương.

Vậy phương trình tham số của đường thẳng \\(d\\) đi qua điểm \\(A\\left( {1;0;1} \\right)\\) và có một vectơ chỉ phương \\(\\vec a = \\left( {3;2;4} \\right)\\) là \\(\\left\\{ \\begin{array}{l}x = 1 + 3t\\\\y = 0 + 2t\\\\z = 1 + 4t\\end{array} \\right.\\)

Do \\(d\\parallel d'\\) nên vectơ chỉ phương \\(\\vec a\\) của \\(d'\\) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \\(d\\). Từ đó viết được phương trình của đường thẳng \\(d\\) đi qua điểm \\(A\\) và có vectơ pháp tuyến \\(\\vec a\\).

Trong không gian Oxyz, cho điểm \\(I\\left( {2; - 1;2} \\right)\\) và mặt phẳng \\(\\left( P \\right):x + 2y + 2z - 10 = 0\\).

Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là I và tiếp xúc với mặt phẳng (P).

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với (P) nên bán kính của (S) là \\(R = d\\left( {I,\\left( P \\right)} \\right) = \\frac{{\\left| {2 - 2 + 4 - 10} \\right|}}{{\\sqrt {1 + 4 + 4} }} = \\frac{6}{3} = 2\\).

Phương trình mặt cầu (S) là \\({\\left( {x - 2} \\right)^2} + {\\left( {y + 1} \\right)^2} + {\\left( {z - 2} \\right)^2} = 4\\).

Bán kính của mặt cầu (S) là khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P).