Bài 7 trang 12 SGK Hình học 10

LG a

$\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{a} \right |$ + $\left | \overrightarrow{b} \right |$;

Phương pháp giải:

Với quy tắc ba điểm tùy ý $A, \, \, B, \, \, C$ ta luôn có:

$+ )\;\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}$ (quy tắc ba điểm).

$+ )\;\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB}$ (quy tắc trừ).

Lời giải chi tiết:

Xét:  $\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{a} \right |$ + $\left | \overrightarrow{b} \right |$

Dựng hình bình hành $ABCD$ sao cho $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow a ,\;\;\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow b .$

Khi đó ta có: $\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}$ $\Rightarrow \left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC.$

Lại có: $\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|$ $= \left| {\overrightarrow {AB} } \right| + \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = AB + BC$

Suy ra $\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|$$\Leftrightarrow AC = AB + BC$

$\Leftrightarrow$ 3 điểm $A, \, \, B,\, \, C$ thẳng hàng và $B$ nằm giữa $A, \, \, C$

$\Rightarrow \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC}$ cùng hướng

Hay $\overrightarrow a ,\;\overrightarrow b$ cùng hướng.

Vậy  $\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{a} \right |+ \left | \overrightarrow{b} \right |$ khi hai vectơ $\overrightarrow{a}, \, \, \overrightarrow{b}$ cùng hướng.

LG b

 $\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |= \left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |$.

Phương pháp giải:

Với quy tắc ba điểm tùy ý $A, \, \, B, \, \, C$ ta luôn có:

$+ )\;\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}$ (quy tắc ba điểm).

$+ )\;\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB}$ (quy tắc trừ).

Lời giải chi tiết:

Xét $\left | \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right |= \left | \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right |.$

Tương tự câu a ta có: $\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC.$

Ta có: $\overrightarrow a  - \overrightarrow b  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {DB}$ $\Rightarrow \left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| = DB.$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right|$$\Leftrightarrow AC = DB.$

Khi đó hình bình hành $ABCD$  là hình chữ nhật $\Rightarrow AB \perp BC$ hay $\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}.$

HocTot.XYZ