Nội dung từ Loigiaihay.Com
Bác Đạt muốn thiết kế cửa sổ có dạng hình chữ nhật với diện tích bằng 2,52 m2 và chu vi bằng 6,4m. Tìm kích thước của cửa sổ đó.
Tổng chiều dài và chiều rộng là nửa chu vi của HCN: \(6,4:2 = 3,2m\)
Lập phương trình bậc 2 một ẩn với \(S = 3,2;P = 2,52\)
Nửa chu vi của HCN: \(6,4:2 = 3,2m\).
Chiều dài và chiều rộng của HCN là nghiệm của phương trình:
\({x^2} - 3,2x + 2,52 = 0\).
Phương trình có các hệ số: \(a = 1;b = - 3,2;c = 2,52.\)
\(\Delta ' = {( - 1,6)^2} - 1.2,52 = 0,04 > 0\)
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 1,6} \right) + \sqrt {0,04} }}{1} = 1,8;{x_2} = \frac{{ - \left( { - 1,6} \right) - \sqrt {0,04} }}{1} = 1,4.\)
Vì chiều dài lớn hơn chiều rộng nên chiều dài là 1,8m; chiều rộng là 1,4m.
Vậy chiều dài, chiều rộng của cửa sổ lần lượt là 1,8m; 1,4m.
Các bài tập cùng chuyên đề
Bài 1 :
Tìm \(b,\,\,c\) để phương trình \({x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm là \({x_1} = - 2;\,\,{x_2} = 3.\)
Bài 2 :
Giải các phương trình:
a) \({x^2} - 12x = 0\)
b) \(13{x^2} + 25x - 38 = 0\)
c) \(3{x^2} - 4\sqrt 3 x + 4 = 0\)
d) \(x(x + 3) = 27 - (11 - 3x)\)
Bài 3 :
Cho phương trình \(2{x^2} - 3x - 6 = 0\).
a) Chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}.\)
b) Tính \({x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}\). Chứng minh cả 2 nghiệm \({x_1},{x_2}\) đều khác 0.
c) Tính \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}}\)
d) Tính \({x_1}^2 + {x_2}^2\)
e) Tính \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right|.\)
Bài 4 :
Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 6m - 4 = 0{\rm{ (1)}}\) (với m là tham số)
a) Với \(m = 0\) thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b) Với \(m = 2\) thì phương trình (1) có hai nghiệm \({x_1};{\rm{ }}{x_2}\) thoả mãn \({x_1}{\rm{ + }}{x_2} = 6;{\rm{ }}{x_1}{x_2} = 8\) .
c) Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
d) Để phương trình (1) có hai nghiệm \({x_1};{\rm{ }}{x_2}\) thỏa mãn \(\left( {2m - 2} \right){x_1} + {x_2}^2 - 4{x_2} = 4{\rm{ (2)}}\) thì \(m \in \left\{ { - 2;{\rm{ }}\frac{1}{2}} \right\}\).
Bài 5 :
Cho phương trình \({x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} - 4m = 0{\rm{ }}(1)\) (với \(m\)là tham số)
a) Khi \(m = 1\) thì phương trình có 2 nghiệm \({x_1} = - 1;{\rm{ }}{x_2} = 3\)
b) Phương trình (1) có 2 nghiệm \({x_1};{\rm{ }}{x_2}\) thoả mãn \({x_1}{\rm{ + }}{x_2} = 2\left( {m - 2} \right);{\rm{ }}{x_1}{x_2} = {m^2} - 4m\)
c) Giá trị của của biểu thức \({{\rm{x}}_1}^2 + {{\rm{x}}_2}^2 = 2{m^2} - 8m + 16\).
d) Phương trình \(\left( 1 \right)\)có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \(\frac{3}{{{x_1}}} + {x_2} = \frac{3}{{{x_2}}} + {x_1}\) khi \(m = 3\)
Bài 6 :
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {3 - 2m} \right)x - {m^2}\) (\(m\) là tham số).
a) Hoành độ giao điểm của đường thẳng \((d)\) và parabol \((P)\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - (3 - 2m)x + {m^2} = 0\,\,(1)\).
b) Khi \(m = 0\) phương trình (1) có hai nghiệm là \({x_1} = 0;{\rm{ }}{x_2} = - 3\).
c) Khi \(m = 0\) đường thẳng \((d)\) và parabol \((P)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt có toạ độ là \(\left( {0;0} \right);\,\,\left( {3;9} \right)\).
d) Để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + \left( {3 - 2m} \right){x_2} - 24 = 0\) thì \(m \in \left\{ { - 1;5} \right\}\).
Bài 7 :
Cho phương trình \(2{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x - 3 = 0\)
a) Chứng minh phương trình đó luôn có nghiệm với mọi m.
b) Gọi \({x_1},{x_2}\) là 2 nghiệm của phương trình đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x_1}^2 + {x_2}^2 + 3{x_1}{x_2}\).
Bài 8 :
Cho phương trình \(2{x^2} - 5x + 1 = 0\)a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.
b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = {x_1}({x_1} + 2024) + {x_2}\left( {{x_2} + 2025} \right) - {x_2}\)
Bài 9 :
Cho phương trình \({x^2} + 4x - 1 = 0\)a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.
b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} + \frac{5}{2}\).
Bài 10 :
Cho phương trình \({x^2} + 4x + m = 0\).
a) Giải phương trình với \(m = 1\).
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 10\).
Bài 11 :
Cho phương trình \(4{x^2} + 4x - 3 = 0\)a) Không giải phương trình, chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Tính giá trị biểu thức \(A = {x_1}\left( {4 + \frac{1}{3}{x_2}} \right) + 4{x_2}\).
Bài 12 :
Cho phương trình \({x^2} + 5x - 8 = 0\)a) Không giải phương trình, chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Tính giá trị biểu thức \(A = \frac{{{x_1}}}{{{x_2} - 2}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1} - 2}}\).
Bài 13 :
Cho phương trình \({x^2} - 4x - 6 = 0\).a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).
b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = \frac{{{x_1}{x_2}}}{{4 - {x_1}}} + \frac{{{x_1}{x_2}}}{{4 - {x_2}}}\).
Bài 14 :
a) Tìm \(a\) để đồ thị hàm số \(y = a{x^2}\) đi qua điểm \(M\left( {\sqrt 2 \,;{\rm{ }}2} \right).\)
b) Cho phương trình \({x^2} - 7x + 12 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(M = \left( {1 - 25{x_1}} \right){x_1} - {x_2}\left( {25{x_2} - {x_1} - 1} \right)\).
Bài 15 :
Cho phương trình \({\left( {2x} \right)^2} - x\left( {x + 4} \right) = - 1\)a) Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
b) Hãy tính giá trị của biểu thức \(A = x_1^2 - \frac{4}{3}{x_1} - x_2^2 + \frac{4}{3}{x_2} + {\left( {3{x_1}.{x_2}} \right)^2}\).
Bài 16 :
a) Tìm các điểm M thuộc (P): \(y = \frac{{ - 1}}{4}{x^2}\) có tung độ gấp 2 lần hoành độ và khác 0.
b) Cho phương trình \({x^2} - x - 10 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính \(x_1^3 + x_2^3\).
Bài 17 :
a) Tìm bằng phép tính tọa độ các điểm M thuộc (P): \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) có tung độ là 8.
b) Cho phương trình \({x^2} - 2x - 8 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(A = \left( {{x_1} + 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} + 2{x_1}} \right)\)
Bài 18 :
Cho phương trình \(3{x^2} - 5x - 4 = 0\)a) Chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
b) Hãy tính giá trị của biểu thức \(P = {x_1}\left( {{x_1} - 12} \right) + {x_2}\left( {{x_2} - 12} \right)\).
Bài 19 :
a) Biết đồ thị của hàm số \(y = \left( {1 + 3a} \right){x^2}\) đi qua điểm \(M\left( { - 2;28} \right)\). Tìm a.
b) Cho phương trình \({x^2} + 2x - 2 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức \(A = {x_1}\left( {x_2^2 - 2} \right) - {x_1} - {x_2}\).
Bài 20 :
a) Tìm các điểm thuộc \(\left( P \right):y = - \frac{1}{4}{x^2}\) có hoành độ và tung độ là hai số đối nhau và khác (0;0)
b) Cho phương trình \(3{x^2} + 2x - 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức \(M = \left( {{x_1} - 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right) + x_2^2\).
Bài 21 :
Cho phương trình \({x^2} - 4x - 6 = 0\).a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).
b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(\frac{{{x_1}{x_2}}}{{4 - {x_1}}} + \frac{{{x_1}{x_2}}}{{4 - {x_2}}}\).
Bài 22 :
Cho phương trình bậc hai \(\sqrt 3 {x^2} - 2x - \sqrt 3 = 0\)a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.
b) Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức: \(C = 2\sqrt 3 {x_1} - x_1^2 - x_2^2 - \sqrt 3 ({x_1} - {x_2})\).
Bài 23 :
Cho phương trình bậc hai \({x^2} + 6x - 3 = 0\)a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.
b) Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức: \(A = \frac{{5{x_1} - {x_2}}}{{{x_1}}} - \frac{{{x_1} - 3{x_2}}}{{{x_2}}}\).
Bài 24 :
Phương trình \({x^2} - 2x - m + 1 = 0\) (m là tham số) có một nghiệm là \(x = 1 + \sqrt 7 \). Tính giá trị của biểu thức \(A = {x_1}^2{x_2} + {x_2}^2{x_1}\).
Bài 25 :
Cho phương trình bậc hai \( - {x^2} + 7x + 5 = 0\).a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.
b) Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức: \(A = {x_1}\left( {3{x_1} - {x_2}} \right) + {x_2}\left( {3{x_2} - {x_1}} \right)\).
Bài 26 :
Tìm m để phương trình \({x^2} + mx - 2 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) cùng nhỏ hơn 1.