Đề bài

a) Tìm các điểm M thuộc (P): $y = \frac{{ - 1}}{4}{x^2}$ có tung độ gấp 2 lần hoành độ và khác 0.

b) Cho phương trình ${x^2} - x - 10 = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$ . Không giải phương trình, hãy tính $x_1^3 + x_2^3$ .

Phương pháp giải

a) Biểu diễn điểm có tung độ gấp 2 lần hoành độ.

Thay vào hàm số $y = \frac{{ - 1}}{4}{x^2}$ để tìm M.

b) Dùng $ac < 0$ để xác định số nghiệm của phương trình.

Tính tổng và tích của hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ theo định lí Viète: $\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a}\\P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right.$ .

Biến đổi biểu thức để xuất hiện tổng và tích của hai nghiệm.

Lời giải của GV HocTot.XYZ

a) Điểm có tung độ gấp 2 lần hoành độ có toạ độ $M\left( {{x_0};{y_0}} \right) = M\left( {{x_0};2{x_0}} \right)$

Vì ${y_0} = 2{x_0}$ nên $- \frac{1}{4}{x_0}^2 = 2{x_0}$

$- \frac{1}{4}{x_0}^2 - 2{x_0} = 0$

${x_0}^2 + 8{x_0} = 0$

${x_0}\left( {{x_0} + 8} \right) = 0$

${x_0} = 0$ hoặc ${x_0} = - 8$

suy ra ${y_0} = 0$ hoặc ${y_0} = - 16$

Ta được $M\left( {0;0} \right)$ (loại) hoặc $M\left( { - 8; - 16} \right)$ .

Vậy $M\left( { - 8; - 16} \right)$ .

b) Vì $ac = 1.\left( { - 10} \right) = - 10 < 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$ .

Áp dụng định lí Viète, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - \left( { - 1} \right)}}{1} = 1\\P = {x_1}{x_2} = \frac{{ - 10}}{1} = - 10\end{array} \right.$

Ta có:

$\begin{array}{l}x_1^3 + x_2^3 = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}{x_2} + x_2^2} \right)\\ = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 3{x_1}{x_2}} \right)\\ = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {\left( {x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2} \right) - 3{x_1}{x_2}} \right]\\ = \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right]\\ = 1.\left[ {{1^2} - 3.\left( { - 10} \right)} \right]\\ = 1 + 30\\ = 31\end{array}$

Vậy $x_1^3 + x_2^3 = 31$ .

Báo lỗi - Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Tìm $b,\,\,c$ để phương trình ${x^2} + bx + c = 0$ có hai nghiệm là ${x_1} = - 2;\,\,{x_2} = 3.$

A.
$b = 1\,\,;\,\,c = - 6$
B.
$b = - 1\,\,;\,\,c = 6$
C.
$b = 1\,\,;\,\,c = 6$
D.
$b = - 1\,\,;\,\,c = - 6$

Xem lời giải >>

Bài 2 :

Giải các phương trình:

a) ${x^2} - 12x = 0$

b) $13{x^2} + 25x - 38 = 0$

c) $3{x^2} - 4\sqrt 3 x + 4 = 0$

d) $x(x + 3) = 27 - (11 - 3x)$

Xem lời giải >>

Bài 3 :

Cho phương trình $2{x^2} - 3x - 6 = 0$ .

a) Chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}.$

b) Tính ${x_1} + {x_2};{x_1}.{x_2}$ . Chứng minh cả 2 nghiệm ${x_1},{x_2}$ đều khác 0.

c) Tính $\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}}$

d) Tính ${x_1}^2 + {x_2}^2$

e) Tính $\left| {{x_1} - {x_2}} \right|.$

Xem lời giải >>

Bài 4 :

Bác Đạt muốn thiết kế cửa sổ có dạng hình chữ nhật với diện tích bằng 2,52 m² và chu vi bằng 6,4m. Tìm kích thước của cửa sổ đó.

Xem lời giải >>

Bài 5 :

Cho phương trình ${x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 6m - 4 = 0{\rm{ (1)}}$ (với m là tham số)

a) Với $m = 0$ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

b) Với $m = 2$ thì phương trình (1) có hai nghiệm ${x_1};{\rm{ }}{x_2}$ thoả mãn ${x_1}{\rm{ + }}{x_2} = 6;{\rm{ }}{x_1}{x_2} = 8$ .

c) Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

d) Để phương trình (1) có hai nghiệm ${x_1};{\rm{ }}{x_2}$ thỏa mãn $\left( {2m - 2} \right){x_1} + {x_2}^2 - 4{x_2} = 4{\rm{ (2)}}$ thì $m \in \left\{ { - 2;{\rm{ }}\frac{1}{2}} \right\}$ .

Xem lời giải >>

Bài 6 :

Cho phương trình ${x^2} + 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} - 4m = 0{\rm{ }}(1)$ (với $m$ là tham số)

a) Khi $m = 1$ thì phương trình có 2 nghiệm ${x_1} = - 1;{\rm{ }}{x_2} = 3$

b) Phương trình (1) có 2 nghiệm ${x_1};{\rm{ }}{x_2}$ thoả mãn ${x_1}{\rm{ + }}{x_2} = 2\left( {m - 2} \right);{\rm{ }}{x_1}{x_2} = {m^2} - 4m$

c) Giá trị của của biểu thức ${{\rm{x}}_1}^2 + {{\rm{x}}_2}^2 = 2{m^2} - 8m + 16$ .

d) Phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn điều kiện $\frac{3}{{{x_1}}} + {x_2} = \frac{3}{{{x_2}}} + {x_1}$ khi $m = 3$

Xem lời giải >>

Bài 7 :

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho parabol $\left( P \right):y = {x^2}$ và đường thẳng $\left( d \right):y = \left( {3 - 2m} \right)x - {m^2}$ ( $m$ là tham số).

a) Hoành độ giao điểm của đường thẳng $(d)$ và parabol $(P)$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - (3 - 2m)x + {m^2} = 0\,\,(1)$ .

b) Khi $m = 0$ phương trình (1) có hai nghiệm là ${x_1} = 0;{\rm{ }}{x_2} = - 3$ .

c) Khi $m = 0$ đường thẳng $(d)$ và parabol $(P)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt có toạ độ là $\left( {0;0} \right);\,\,\left( {3;9} \right)$ .

d) Để $\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ ${x_1};{x_2}$ thỏa mãn $x_1^2 + \left( {3 - 2m} \right){x_2} - 24 = 0$ thì $m \in \left\{ { - 1;5} \right\}$ .

Xem lời giải >>

Bài 8 :

Cho phương trình $2{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x - 3 = 0$

a) Chứng minh phương trình đó luôn có nghiệm với mọi m.

b) Gọi ${x_1},{x_2}$ là 2 nghiệm của phương trình đó. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = {x_1}^2 + {x_2}^2 + 3{x_1}{x_2}$ .

Xem lời giải >>

Bài 9 :

Cho phương trình

$2{x^2} - 5x + 1 = 0$

a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.

b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $A = {x_1}({x_1} + 2024) + {x_2}\left( {{x_2} + 2025} \right) - {x_2}$

Xem lời giải >>

Bài 10 :

Cho phương trình

${x^2} + 4x - 1 = 0$

a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.

b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $A = \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1}}} + \frac{5}{2}$ .

Xem lời giải >>

Bài 11 :

Cho phương trình ${x^2} + 4x + m = 0$ .

a) Giải phương trình với $m = 1$ .

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = 10$ .

Xem lời giải >>

Bài 12 :

Cho phương trình

$4{x^2} + 4x - 3 = 0$

a) Không giải phương trình, chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Tính giá trị biểu thức $A = {x_1}\left( {4 + \frac{1}{3}{x_2}} \right) + 4{x_2}$ .

Xem lời giải >>

Bài 13 :

Cho phương trình

${x^2} + 5x - 8 = 0$

a) Không giải phương trình, chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Tính giá trị biểu thức $A = \frac{{{x_1}}}{{{x_2} - 2}} + \frac{{{x_2}}}{{{x_1} - 2}}$ .

Xem lời giải >>

Bài 14 :

Cho phương trình

${x^2} - 4x - 6 = 0$ .

a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ .

b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $A = \frac{{{x_1}{x_2}}}{{4 - {x_1}}} + \frac{{{x_1}{x_2}}}{{4 - {x_2}}}$ .

Xem lời giải >>

Bài 15 :

a) Tìm $a$ để đồ thị hàm số $y = a{x^2}$ đi qua điểm $M\left( {\sqrt 2 \,;{\rm{ }}2} \right).$

b) Cho phương trình ${x^2} - 7x + 12 = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$ . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $M = \left( {1 - 25{x_1}} \right){x_1} - {x_2}\left( {25{x_2} - {x_1} - 1} \right)$ .

Xem lời giải >>

Bài 16 :

Cho phương trình

${\left( {2x} \right)^2} - x\left( {x + 4} \right) = - 1$

a) Chứng tỏ phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

b) Hãy tính giá trị của biểu thức $A = x_1^2 - \frac{4}{3}{x_1} - x_2^2 + \frac{4}{3}{x_2} + {\left( {3{x_1}.{x_2}} \right)^2}$ .

Xem lời giải >>

Bài 17 :

a) Tìm bằng phép tính tọa độ các điểm M thuộc (P): $y = \frac{1}{2}{x^2}$ có tung độ là 8.

b) Cho phương trình ${x^2} - 2x - 8 = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$ . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $A = \left( {{x_1} + 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} + 2{x_1}} \right)$

Xem lời giải >>

Bài 18 :

Cho phương trình

$3{x^2} - 5x - 4 = 0$

a) Chứng minh phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

b) Hãy tính giá trị của biểu thức $P = {x_1}\left( {{x_1} - 12} \right) + {x_2}\left( {{x_2} - 12} \right)$ .

Xem lời giải >>

Bài 19 :

a) Biết đồ thị của hàm số $y = \left( {1 + 3a} \right){x^2}$ đi qua điểm $M\left( { - 2;28} \right)$ . Tìm a.

b) Cho phương trình ${x^2} + 2x - 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$ . Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức $A = {x_1}\left( {x_2^2 - 2} \right) - {x_1} - {x_2}$ .

Xem lời giải >>

Bài 20 :

a) Tìm các điểm thuộc $\left( P \right):y = - \frac{1}{4}{x^2}$ có hoành độ và tung độ là hai số đối nhau và khác (0;0)

b) Cho phương trình $3{x^2} + 2x - 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1};{x_2}$ . Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức $M = \left( {{x_1} - 2{x_2}} \right)\left( {{x_2} - {x_1}} \right) + x_2^2$ .

Xem lời giải >>

Bài 21 :

Cho phương trình

${x^2} - 4x - 6 = 0$ .

a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ .

b) Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức $\frac{{{x_1}{x_2}}}{{4 - {x_1}}} + \frac{{{x_1}{x_2}}}{{4 - {x_2}}}$ .

Xem lời giải >>

Bài 22 :

Cho phương trình bậc hai

$\sqrt 3 {x^2} - 2x - \sqrt 3 = 0$

a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.

b) Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức: $C = 2\sqrt 3 {x_1} - x_1^2 - x_2^2 - \sqrt 3 ({x_1} - {x_2})$ .

Xem lời giải >>

Bài 23 :

Cho phương trình bậc hai

${x^2} + 6x - 3 = 0$

a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.

b) Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức: $A = \frac{{5{x_1} - {x_2}}}{{{x_1}}} - \frac{{{x_1} - 3{x_2}}}{{{x_2}}}$ .

Xem lời giải >>

Bài 24 :

Phương trình ${x^2} - 2x - m + 1 = 0$ (m là tham số) có một nghiệm là $x = 1 + \sqrt 7$ . Tính giá trị của biểu thức $A = {x_1}^2{x_2} + {x_2}^2{x_1}$ .

Xem lời giải >>

Bài 25 :

Cho phương trình bậc hai

$- {x^2} + 7x + 5 = 0$ .

a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm phân biệt.

b) Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức: $A = {x_1}\left( {3{x_1} - {x_2}} \right) + {x_2}\left( {3{x_2} - {x_1}} \right)$ .

Xem lời giải >>

Bài 26 :

Tìm m để phương trình ${x^2} + mx - 2 = 0$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ cùng nhỏ hơn 1.

Xem lời giải >>