Xét một thấu kính hội tụ có tiêu cự f (H.1.39). Khoảng cách p từ vật đến thấu kính liên hệ với khoảng cách q từ ảnh đến thấu kính bởi hệ thức: \(\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{f}\).

a) Viết công thức tính \(q = g\left( p \right)\) như một hàm số của biến \(p \in \left( {f; + \infty } \right)\).
b) Tính các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{p \to + \infty } g\left( p \right),\mathop {\lim }\limits_{p \to {f^ + }} g\left( p \right)\) và giải thích ý nghĩa các kết quả này.
Lập bảng biến thiên của hàm số \(q = g\left( p \right)\) trên khoảng \(\left( {f; + \infty } \right)\).

a) \(f(0) = 2;f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}\).

b) Đạo hàm của hàm số đã cho là\({f^\prime }(x) = 2\sin x + 1\).

c) Nghiệm của phương trình \({f^\prime }(x) = 0\) trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) là \(\frac{\pi }{6}\).

d) Giá trị lớn nhất của \(f(x)\) trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) là \(\sqrt 3 {\rm{\;}} + \frac{\pi }{6}\).

a) Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (1;0) .

b) Hàm số f(x) có một điểm cực đại.

c) Đạo hàm của hàm số f(x) là \(f'(x) = 5 - \frac{1}{{(x + 1)\ln 3}}\), \(\forall x \in ( - 1; + \infty )\).

d) Giá trị của hàm số f(x) tại điểm x = 2 là f(2) = 9.

a) \(f(0) = 1\); \(f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) =  - \pi  - 3\).

b) Đạo hàm của hàm số đã cho là f’(x) = -4cosx + 2.

c) Nghiệm của phương trình f’(x) = 0 trên đoạn \([0;\pi ]\) là \(\frac{{2\pi }}{3}\).

d) Giá trị lớn nhất của f(x) trên đoạn \([0;\pi ]\) là \(2\pi  + 1\).

a) Tập xác định của hàm số là \(D = (0; + \infty )\).

b) \(f(1) =  - \frac{1}{2}\); \(f(e) =  - \frac{e}{2}\).

c) Nghiệm của phương trình \(f'(x) = 0\) trên đoạn [1;e] là x = 2.

d) Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [1;e] bằng \( - \frac{1}{2}\).

a) Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (0;2).

b) Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) =  + \infty \).

c) Gọi A, B lần lượt là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(x). Khi đó độ dài AB bằng \(\sqrt 5 \).

d) Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{f(x)}}\) có đúng hai đường tiệm cận đứng.

a) Hàm số có tập xác định là R.

b) Đạo hàm của hàm số đã cho là \(f'\left( x \right) = 2{e^{2x}} - 2\).

c) Tập nghiệm của bất phương trình \(f'\left( x \right) > 0\) là \(S = \left( {0; + \infty } \right)\).

d) Hàm số đã cho có giá trị cực tiểu bằng 0.