Nghiệm \({x_0}\) của phương trình \(\frac{1}{{x - 2}} - \frac{2}{{x - 1}} = \frac{5}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}\) thỏa mãn biểu thức \(S = {x_0}^3 + 2{x_0}^2 + 2024\). Tính giá trị của S.

Bài 1 :

Phương trình \(\dfrac{{6x}}{{9 - {x^2}}} = \dfrac{x}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{3 - x}}\) có nghiệm là

Bài 2 :

Trong các khẳng định sau, số khẳng định đúng là:

a) Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{{x^2} + 3x}}{x} = 0\) là \(\left\{ {0; - 3} \right\}\).

b) Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = 0\) là \(\left\{ { - 2} \right\}\).

c) Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{x - 8}}{{x - 7}} = \dfrac{1}{{7 - x}} + 8\) là \(\left\{ 0 \right\}\).

Bài 3 :

Số nghiệm của phương trình \(\dfrac{{x - 5}}{{x - 1}} + \dfrac{2}{{x - 3}} = 1\) là

Bài 4 :

Phương trình \(\dfrac{{3x - 5}}{{x - 1}} - \dfrac{{2x - 5}}{{x - 2}} = 1\) có  số nghiệm là

Bài 5 :

Cho phương trình $\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{7}{{x - 2}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}$ . Bạn Long giải phương trình như sau:

Bước 1: ĐKXĐ $x \ne 1;\,x \ne 2$

Bước 2: $\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{7}{{x - 2}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}$

\(\dfrac{{x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \dfrac{{7\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{{ -1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)

Bước 3: Suy ra

\(x - 2 - 7x + 7 =  - 1 \\- 6x =  - 6 \\x = 1\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 1 \right\}\).

Chọn câu đúng.

Bài 6 :

Cho hai biểu thức : \(A = 1 + \dfrac{1}{{2 + x}}\) và \(B = \dfrac{{12}}{{{x^3} + 8}}\) . Tìm $x$  sao cho \(A = B\) .

Bài 7 :

Cho phương trình \(\left( 1 \right)\): \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{x - 2}} = 0\) và phương trình \(\left( 2 \right)\): \(\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{x}{{x - 2}} = \dfrac{{5x - 2}}{{4 - {x^2}}}\). Khẳng định nào sau đây là đúng.

Bài 8 :

Biết \({x_0}\) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình

\(\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 3}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 8x + 15}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 12x + 35}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 16x + 63}} = \dfrac{1}{5}.\) Chọn khẳng định đúng.

Bài 9 :

Phương trình \(\dfrac{{6x}}{{9 - {x^2}}} = \dfrac{x}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{3 - x}}\) có nghiệm là

Bài 10 :

Phương trình \(\dfrac{x}{{x - 5}} - \dfrac{3}{{x - 2}} = 1\)  có nghiệm là

Bài 11 :

Số nghiệm của phương trình  \(\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{x}{{x - 2}} = \dfrac{{5x - 2}}{{4 - {x^2}}}\)  là

Bài 12 :

Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}} - 2 = x\) là

Bài 13 :

Phương trình \(\dfrac{{x - 1}}{2} + \dfrac{{x - 1}}{3} - \dfrac{{x - 1}}{6} = 2\) có tập nghiệm là

Bài 14 :

Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{ - 7{x^2} + 4}}{{{x^3} + 1}} = \dfrac{5}{{{x^2} - x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 1}}\) là

Bài 15 :

Phương trình \(\dfrac{3}{{1 - 4x}} = \dfrac{2}{{4x + 1}} - \dfrac{{8 + 6x}}{{16{x^2} - 1}}\) có nghiệm là

Bài 16 :

Số nghiệm của phương trình \(\dfrac{3}{{5x - 1}} + \dfrac{2}{{3 - 5x}} = \dfrac{4}{{\left( {1 - 5x} \right)\left( {5x - 3} \right)}}\) là

Bài 17 :

Cho hai phương trình \(\dfrac{{{x^2} + 2x}}{x} = 0\,\left( 1 \right)\) và \(\dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = 0\,\left( 2 \right)\). Chọn kết luận đúng:

Bài 18 :

Phương trình \(\dfrac{2}{{x + 1}} + \dfrac{x}{{3x + 3}} = 1\) có số nghiệm là

Bài 19 :

Cho phương trình \(\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{7}{{x - 2}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}\). Bạn Long giải phương trình như sau:

Bước 1: ĐKXD \(x \ne 1;\,x \ne 2\)

Bước 2: \(\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{7}{{x - 2}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}\)

\( \dfrac{{x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \dfrac{{7\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)

Bước 3: Suy ra \(x - 2 - 7x + 7 = 1\)

\( - 6x = - 4 \\x = \dfrac{2}{3}\left( {TM} \right)\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\dfrac{2}{3}} \right\}\).

Chọn câu đúng.

Bài 20 :

Cho hai biểu thức: \(A = 1 - \dfrac{1}{{2 - x}}\) và \(B = \dfrac{{12}}{{{x^3} - 8}}\). Giá trị của \(x\) để \(A = B\) là:

Bài 21 :

Cho phương trình \(\left( 1 \right)\): \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{x - 2}} = 0\) và phương trình \(\left( 2 \right)\): \(\dfrac{{x - 1}}{{{x^2} - x}} + \dfrac{{2x - 2}}{{{x^2} - 3x + 2}} = 0\). Khẳng định nào sau đây là sai.

Bài 22 :

Cho phương trình: \(\dfrac{1}{{{x^2} + 3x + 2}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 5x + 6}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 7x + 12}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 9x + 20}} = \dfrac{1}{3}\).

Tổng bình phương các nghiệm của phương trình trên là:

Bài 23 :

Xét phương trình \(\frac{{x + 3}}{x} = \frac{{x + 9}}{{x - 3}}.\left( 2 \right)\)

Hãy thực hiện các yêu cầu sau để giải phương trình (2):

a) Tìm điều kiện xác định của phương trình (2);

b) Quy đồng mẫu hai vế của phương trình (2), rồi khử mẫu;

c) Giải phương trình vừa tìm được;

d) Kết luận nghiệm của phương trình (2).

Bài 24 :

Giải phương trình \(\frac{1}{{x - 1}} - \frac{{4x}}{{{x^3} - 1}} = \frac{x}{{{x^2} + x + 1}}.\)

Bài 25 :

Giải các phương trình sau:

a) \(\frac{2}{{2x + 1}} + \frac{1}{{x + 1}} = \frac{3}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}};\)

b) \(\frac{1}{{x + 1}} - \frac{x}{{{x^2} - x + 1}} = \frac{{3x}}{{{x^3} + 1}}.\)

Bài 26 :

Hai người cùng làm chung một công việc thì xong trong 8 giờ. Hai người cùng làm được 4 giờ thì người thứ nhất bị điều đi làm công việc khác. Người thứ hai tiếp tục làm việc trong 12 giờ nữa thì xong công việc. Gọi x là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc (đơn vị tính là giờ, \(x > 0\)).

a) Hãy biểu thị theo x:

- Khối lượng công việc mà người thứ nhất làm được trong 1 giờ;

- Khối lượng công việc mà người thứ hai làm được trong 1 giờ;

b) Hãy lập phương trình theo x và giải phương trình đó. Sau đó cho biết, nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao lâu mới xong công việc đó.

Bài 27 :

Để loại bỏ x% một loại tảo độc khỏi một hồ nước, người ta ước tính chi phí cần bỏ ra là

\(C\left( x \right) = \frac{{50x}}{{100 - x}}\) (triệu đồng), với \(0 \le x < 100.\)

Nếu bỏ ra 450 triệu đồng, người ta có thể lọai bỏ được bao nhiêu phần trăm loại tảo độc đó?

Bài 28 :

Giải các phương trình sau:

a) \(\frac{1}{{x + 2}} - \frac{2}{{{x^2} - 2x + 4}} = \frac{{x - 4}}{{{x^3} + 8}};\)

b) \(\frac{{2x}}{{x - 4}} + \frac{3}{{x + 4}} = \frac{{x - 12}}{{{x^2} - 16}}.\)

Bài 29 :

Giải các phương trình sau:

a) \(\frac{x}{{x - 5}} - \frac{2}{{x + 5}} = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 25}};\)

b) \(\frac{1}{{x - 1}} - \frac{x}{{{x^2} - x + 1}} = \frac{3}{{{x^3} + 1}}.\)

Bài 30 :

Giải các phương trình sau:

a) \(\frac{2}{{x + 1}} - \frac{{2x}}{{{x^2} - x + 1}} = \frac{3}{{{x^3} + 1}}\);

b) \(\frac{{x + 1}}{{2x - 1}} - \frac{2}{{2x + 1}} = \frac{{2{x^2}}}{{4{x^2} - 1}}\).