Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) ${\Delta _1}:\frac{{x + 2}}{9} = \frac{{y - 1}}{{27}} = \frac{{z - 3}}{{ - 27}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 3}}{{ - 3}} = \frac{{z - 7}}{3}$;

b) ${\Delta _1}:\frac{{x + 1}}{{ - 2}} = \frac{{y - 6}}{5} = \frac{{z + 3}}{{ - 4}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x + 13}}{7} = \frac{{y + 9}}{5} = \frac{{z + 15}}{8}$;

c) ${\Delta _1}:\frac{{x + 3}}{2} = \frac{{y + 6}}{3} = \frac{{z + 3}}{2}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x + 17}}{2} = \frac{{y - 33}}{{ - 3}} = \frac{{z + 16}}{2}$.

Bài 1 :

(H.5.30) Trong không gian Oxyz, có hai vật thể lần lượt xuất phát từ A(1; 2; 0) và B(3; 5; 0) với vận tốc không đổi tương ứng là $\overrightarrow {{v_1}}  = \left( {2;1;3} \right),\overrightarrow {{v_2}}  = \left( {1;2;1} \right)$. Hỏi trong quá trình chuyển động, hai vật thể trên có va chạm vào nhau hay không?

Bài 2 :

Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: ${\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + t\\z = 1 - t\end{array} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = s\\y = 1 + 2s\\z = 3s\end{array} \right.$.

Bài 3 :

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{4}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{4}$. Chứng minh rằng:

a) Hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ song song với nhau;

b) Đường thẳng ${\Delta _1}$ và trục Ox chéo nhau;

c) Đường thẳng ${\Delta _2}$ trùng với đường thẳng ${\Delta _3}:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 4}}{4}$;

d) Đường thẳng ${\Delta _2}$ cắt trục Oz.

Bài 4 :

Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau song song với nhau:

${\Delta _1}:\frac{{x - 3}}{1} = \frac{y}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{3}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{{ - 2}} = \frac{z}{3}$.

Bài 5 :

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 - t\\z = 2 + 3t\end{array} \right.$ và ${\Delta _2}:\frac{{x - 8}}{{ - 1}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}$.

a) Chứng minh rằng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ cắt nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$.

Bài 6 :

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{2}$.

a) Chứng minh rằng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ song song nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$.

Bài 7 :

Trong không gian Oxyz, xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: ${\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 1\\z = 3 + 2t\end{array} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2s\\y = 2 + s\\z = 1 + 3s\end{array} \right.$.

Bài 8 :

Bằng cách giải hệ phương trình, xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ${\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = {t_1}\\y = 1\\z = 0\end{array} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = {t_2}\\z = 0\end{array} \right.$.

Bài 9 :

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) ${\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}$ và ${\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 11 - 6t\\y =  - 6 - 3t\\z = 10 + 3t\end{array} \right.$ (t là tham số);

b) ${\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 2 + 4t\\z = 3 + 5t\end{array} \right.$ (t là tham số) và ${\Delta _2}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y + 6}}{2} = \frac{{z - 15}}{{ - 3}}$;

c) ${\Delta _1}:\frac{{x + 1}}{4} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{z}{1}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z - 1}}{2}$.

Bài 10 :

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) ${\Delta _1}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y + 5}}{4} = \frac{{z - 5}}{{ - 1}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x + 13}}{5} = \frac{{y - 5}}{{ - 2}} = \frac{{z + 17}}{7}$;

b) ${\Delta _1}:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 4}}{{ - 7}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x + 10}}{{ - 6}} = \frac{{y + 19}}{{ - 9}} = \frac{{z - 45}}{{21}}$;

c) ${\Delta _1}:\frac{{x + 3}}{1} = \frac{{y - 5}}{1} = \frac{{z - 2}}{3}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x + 13}}{5} = \frac{{y - 9}}{{ - 2}} = \frac{{z + 13}}{7}$.

Bài 11 :

Cho ba đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 1 + 2t\\z = 1 + 3t\end{array} \right.$, $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2t'\\y = 7 + 4t'\\z = 2 + 6t'\end{array} \right.$; $d'':\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 2t''\\y = 3 + 4t''\\z = 4 + 6t''\end{array} \right.$.

a) Nêu nhận xét về ba vectơ chỉ phương của $d$, $d'$ và $d''.$

b) Xét điểm $M\left( {4;1;1} \right)$ nằm trên $d$. Điểm $M$ có nằm trên $d'$ hoặc $d''$ không?

c) Từ các kết quả trên, ta có thể kết luận gì về vị trí tương đối giữa $d$ và $d'$, $d$ và $d''$?

Bài 12 :

Kiểm tra tính song song hoặc trùng nhau của các đường thẳng sau:

a) $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + 4t\\y = 3 - 2t\\z = 2 - 2t\end{array} \right.$ và $d':\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 5}}{{ - 1}} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}.$

b) $d:\frac{x}{3} = \frac{y}{3} = \frac{{z - 1}}{4}$ và $d':\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 9}}{3} = \frac{{z - 5}}{4}.$

Bài 13 :

Cho ba đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 3t\\z = 3 - t\end{array} \right.$; $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t'\\y =  - 2 + t'\\z = 1 + 3t'\end{array} \right.$ và $d'':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t''\\y =  - 2 + t''\\z = 3 + 3t''\end{array} \right.$

a) Đường thẳng $d'$ và đường thẳng $d''$ có song song hay trùng với đường thẳng $d$ không?

b) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 2 - 2t'\\2 + 3t =  - 2 + t'\\3 - t = 1 + 3t'\end{array} \right.$ (ẩn $t$ và $t'$).

Từ đó nhận xét về vị trí tương đối giữa $d$ và $d'.$

c) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}1 + t = 2 - 2t''\\2 + 3t =  - 2 + t''\\3 - t = 3 + 3t''\end{array} \right.$ (ẩn $t$ và $t''$).

Từ đó nhận xét về vị trí tương đối giữa $d$ và $d''.$

Bài 14 :

Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng $d$ và $d'$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 - t\\z = 2 - 3t\end{array} \right.$ và $d':\frac{{x - 2}}{4} = \frac{y}{7} = \frac{{z + 1}}{{11}}.$

b) $d:\frac{{x - 4}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{2}$ và $d':\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{9}.$

Bài 15 :

Trên phần mềm thiết kế chiếc cầu treo, cho đường thẳng $d$ trên trụ cầu và đường thẳng $d'$ trên sàn cầu có phương trình lần lượt là: $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = 50 + t\end{array} \right.$ và $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 20\\y = t'\\z = 50\end{array} \right.$.

Xét vị trí tương đối giữa $d$ và $d'.$

Bài 16 :

Cho hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + t\\y = 1 + 2t\\z = 1 - t\end{array} \right.$ và $d':\left\{ \begin{array}{l}x = t'\\y = 7 + 4t'\\z = 9t'\end{array} \right.$.

a) Tìm vectơ chỉ phương $\vec a$ và $\vec a'$ lần lượt của $d$ và $d'.$

b) Tính tích vô hướng $\vec a.\vec a'$. Từ đó, có nhận xét gì về hai đường thẳng $d$ và $d'?$

Bài 17 :

Kiểm tra tính vuông góc của các cặp đường thẳng sau:

a) $d:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{z}{1}$ và $d':\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + t\\y = t\\z =  - 6 + 2t\end{array} \right.$.

b) $d:\frac{{x + 2}}{7} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z + 1}}{1}$ và $d':\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 5}}{2} = \frac{{z - 5}}{2}.$

Bài 18 :

Một phần mềm mô phỏng vận động viên đang tập bắn sứng trong không gian $Oxyz$. Cho biết trục $d$ của nòng súng và cọc đỡ bia $d'$ có phương trình lần lượt là $d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 20\\z = 9\end{array} \right.$ và $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 20\\z = 1 + 3t'\end{array} \right.$. Xét vị trí tương đối giữa $d$ và $d'$, chúng có vuông góc với nhau không?

Bài 19 :

Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 1 + 2t\\z =  - 2 + t\end{array} \right.$ và $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t'\\y = 3 + 4t'\\z = 2t'\end{array} \right.$

b) $d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{2}$ và $d':\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z - 1}}{1}$.

Bài 20 :

Trên phần mềm mô phỏng 3D một máy khoan trong không gian $Oxyz$, cho biết phương trình trục $a$ của mũi khoan và một đường rãnh $b$ trên vật cần khoan (hình dưới đây) lần lượt là $a:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 3t\end{array} \right.$ và $b:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t'\\y = 2 + 2t'\\z = 6\end{array} \right.$.
a) Chứng minh $a$, $b$ vuông góc và cắt nhau.
b) Tìm toạ độ giao điểm của $a$ và $b$.

Bài 21 :

Cho đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 2t\\y =  - t\\z =  - 2 - t\end{array} \right.$. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với $d$?

A. ${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3t'\\y = 1 + t'\\z = 5t'\end{array} \right.$

B. ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2 + t'\\z = 1 + t'\end{array} \right.$

C. ${d_3}:\frac{{x - 2}}{3} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 5}}$

D. ${d_4}:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}$

Bài 22 :

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) ${\Delta _1}:\frac{{x + 7}}{5} = \frac{{y - 1}}{{ - 7}} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}$ và ${\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 5 - 3t\\y =  - 10 - 4t\\z = 3 + 7t\end{array} \right.$ (với $t$ là tham số);

b) ${\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 5t\\y = 1 - t\\z = 3t\end{array} \right.$ (với $t$ là tham số) và ${\Delta _2}:\frac{{x + 2}}{4} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z - 1}}{{ - 6}}$;

c) ${\Delta _1}:\frac{x}{3} = \frac{{y + 5}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{{ - 6}} = \frac{{y - 3}}{{ - 4}} = \frac{{z - 1}}{6}$.

Bài 23 :

Cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 11 - 3{t_1}\\y =  - 5 + 4{t_1}\\z = m{t_1}\end{array} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4 + 5{t_2}\\y = 2 + 3{t_2}\\z = 2{t_2}\end{array} \right.$, với $m$ là tham số thực; ${t_1},{t_2}$ là tham số của phương trình đường thẳng. Tìm $m$ để hai đường thẳng đó vuông góc với nhau.

Bài 24 :

Cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4{t_1}\\y = 9 + {t_1}\\z = 1 - 6{t_1}\end{array} \right.$ và ${\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4 + 3{t_2}\\y = 1 - 18{t_2}\\z =  - 5 - {t_2}\end{array} \right.$ (${t_1},{t_2}$ là tham số). Chứng minh rằng ${\Delta _1} \bot {\Delta _2}$.

Bài 25 :

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 1t\\y = 2 + t\\z =  - 3 + 2t\end{array} \right.$ và $d':\frac{{x + 2}}{3} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}$.

Xét vị trí tương đối giữa $d$ và $d'$.

Bài 26 :

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:

$\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 + t\\z =  - 1 + 2t\end{array} \right.$ và $\Delta ':\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 3}}{{ - 3}}$.

Vị trí tương đối của hai đường thẳng này là

A. chéo nhau.

B. cắt nhau.

C. song song.

D. trùng nhau.

Bài 27 :

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng $d$ và $d'$ trong mỗi trường hợp sau:

a) $d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 + 3t\\z = 1 - t\end{array} \right.$ và $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t'\\y = 7 + 6t'\\z =  - 1 - 2t'\end{array} \right.$;

b) $d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{1}$ và $d':\frac{x}{4} = \frac{y}{6} = \frac{z}{2}$;

c) $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 1 + t\\z = 2 - t\end{array} \right.$ và $d':\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 1}}{1}$.

b) $d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{1}$ và $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1 + t\\z = 7\end{array} \right.$;

Bài 28 :

Trong không gian Oxyz cho trước (1 đơn vị = 1 cm), có một chú kiến vàng và một chú kiến đen bò trên hai sợi dây thẳng khác nhau. Giả sử tại thời điểm $t$ (tính bằng phút), kiến vàng ở vị trí $(6 + t;8 - t;3 + t)$ trên đường thẳng ${d_1}$. Cùng thời điểm đó, kiến đen ở vị trí

$(1 + t;2 + t;2t)$ trên đường thẳng ${d_2}$.

a) Chứng minh rằng hai chú kiến bò trên hai đường thẳng chéo nhau.

b) Tính khoảng cách giữa hai chú kiến tại các thời điểm $t = 0$ và $t = 10$.

c) Hỏi tại thời điểm nào thì khoảng cách giữa hai chú kiến là nhỏ nhất? Tính khoảng cách đó.

Bài 29 :

Trong không gian, cho hai đường thẳng a và a' lần lượt là giá của hai vectơ (khác $\overrightarrow 0$) $\vec a$ và $\vec a'$ (Hình 5.21). Từ một điểm A bất kỳ, vẽ hai đường thẳng d và d' lần lượt song song với a và a'.

a) Hỏi a và a' có phải lần lượt là vectơ chỉ phương của d và d' không? Vì sao?

b) Nếu $d \bot d'$, thì $\vec a$ và $\vec a'$ có vuông góc nhau không? Vì sao?

Bài 30 :

Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

a) $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 - t}\\{y = 4 + t}\\{z = 5 - 2t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})$ và $d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 3t'}\\{y = 5 + 3t'}\\{z = 3 - 6t'}\end{array}} \right.\quad (t' \in \mathbb{R}){\rm{ }}$

 b) $d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}$ và $d':\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{3}$

c) $d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z =  - 3 + 3t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R}){\rm{ }}$ và $d':\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 1}}{3}{\rm{ }}$