Tính giá trị các biểu thức sau:

a) ${\log _6}9 + {\log _6}4$;     

b) ${\log _5}2 - {\log _5}50$;    

c) ${\log _3}\sqrt 5  - \frac{1}{2}{\log _3}15$.

Bài 1 :

Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính ${\log _9}\frac{1}{{27}}.$

Bài 2 :

Giả sử đã cho ${\log _a}M$ và ta muốn tính ${\log _b}M.$ Để tìm mối liên hệ giữa ${\log _a}M$ và ${\log _b}M,$ hãy thực hiện các yêu cầu sau:

a) Đặt $y = {\log _a}M,$ tính M theo y;

b) Lấy loogarit theo cơ số b cả hai vế của kết quả nhận được trong câu a, từ đó suy ra công thức mới để tính y.

Bài 3 :

Rút gọn biểu thức:

$A = {\log _2}\left( {{x^3} - x} \right) - {\log _2}\left( {x + 1} \right) - {\log _2}\left( {x - 1} \right)\,\,\,\,\left( {x > 1} \right).$

Bài 4 :

Cho M = 2⁵, N = 2³. Tính và so sánh:

a) ${\log _2}\left( {MN} \right)$ và ${\log _2}M + {\log _2}N;$

b) ${\log _2}\left( {\frac{M}{N}} \right)$ và ${\log _2}M - {\log _2}N.$

Bài 5 :

Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $A = {\log _2}3.{\log _3}4.{\log _4}5.{\log _5}6.{\log _6}7.{\log _7}8;$                          

b) $B = {\log _2}2.{\log _2}4...{\log _2}{2^n}.$

Bài 6 :

Cho hai số thực dương a, b với $a \ne 1$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. ${\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) = 3 + {\log _a}b$.

B. ${\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) = 3 + 2{\log _a}b$.

C. ${\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) = \frac{3}{2} + {\log _a}b$.                                 

D. ${\log _a}\left( {{a^3}{b^2}} \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}{\log _a}b$.

Bài 7 :

Cho bốn số thực dương a, b, x, y với $a,b \ne 1$. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. ${\log _a}(xy) = {\log _a}x + {\log _a}y$.                               

B. ${\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y$.

C. ${\log _a}\frac{1}{x} = \frac{1}{{{{\log }_a}x}}$. 

D. ${\log _a}b \cdot {\log _b}x = {\log _a}x$.

Bài 8 :

Tính:

a) ${\log _5}4 + {\log _5}\frac{1}{4}$;                                   

b) ${\log _2}28 - {\log _2}7$;

c) $\log \sqrt {1000}$.

Bài 9 :

Tính giá trị của các biểu thức:

a) ${\log _2}72 - \frac{1}{2}\left( {{{\log }_2}3 + {{\log }_2}27} \right)$;

b) ${5^{{{\log }_2}40 - {{\log }_2}5}}$;

c) ${3^{2 + {{\log }_9}2}}$.

Bài 10 :

Viết công thức biểu thị $y$ theo $x$, biết $2{\log _2}y = 2 + \frac{1}{2}{\log _2}x$.

Bài 11 :

Cho $0 < a \ne 1$. Giá trị của biểu thức ${\log _a}\left( {{a^3} \cdot \sqrt[4]{a}} \right) + {(\sqrt[3]{a})^{{{\log }_a}8}}$ bằng

A. $\frac{{19}}{4}$.              

B. 9 .                   

C. $\frac{{21}}{4}$.              

D. $\frac{{47}}{{12}}$.

Bài 12 :

Cho ba số thực dương a, b, c với $a \ne 1{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} b \ne 1$.

a) Bằng cách sử dụng tính chất $c = {b^{{{\log }_b}c}}$, chứng tỏ rằng ${\log _a}c = {\log _b}c.{\log _a}b$

b) So sánh ${\log _b}c$ và $\frac{{{{\log }_a}c}}{{{{\log }_a}b}}$.

Bài 13 :

Tính: $2{\log _3}5 - {\log _3}50 + \frac{1}{2}{\log _3}36$.

Bài 14 :

Cho $a > 0;a \ne 1;b > 0$, α là một số thực

a) Tính ${a^{{{\log }_a}{b^\alpha }}}\,\,\,và \,\,\,{a^{\alpha {{\log }_a}b}}$.

b) So sánh ${\log _a}{b^\alpha }\,\,\,và \,\,\,\alpha {\log _a}b$.

Bài 15 :

Tính:

a) $\ln \left( {\sqrt 5  + 2} \right) + \ln \left( {\sqrt 5  - 2} \right)$

b) $\log 400 - \log 4$

c) ${\log _4}8 + {\log _4}12 + {\log _4}\frac{{32}}{3}$

Bài 16 :

Tính:

a) ${\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\frac{1}{{64}}$

b) ${\rm{log}}1000$;

c) ${\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}1250 - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}10$;

d) ${4^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}3}}$.

Bài 17 :

Chứng minh rằng:

a) ${\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = 0$;

b) ${\rm{ln}}\left( {1 + {e^{2x}}} \right) = 2x + {\rm{ln}}\left( {1 + {e^{ - 2x}}} \right)$.

Bài 18 :

Cho $a > 0$. Giá trị của $\ln \left( {9a} \right) - \ln \left( {3a} \right)$ bằng:

A. $\ln \left( {6a} \right).$

B. $\ln 6.$

C. $\frac{{\ln 9}}{{\ln 3}}.$

D. $\ln 3.$

Bài 19 :

Cho $a > 0,b > 0$. Mệnh đề đúng là:

A. ${\log _2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = 1 + 3{\log _2}a - {\log _2}b.$

B. ${\log _2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = 1 + \frac{1}{3}{\log _2}a - {\log _2}b.$

C. ${\log _2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = 1 + 3{\log _2}a + {\log _2}b.$

D. ${\log _2}\left( {\frac{{2{a^3}}}{b}} \right) = 1 + \frac{1}{3}{\log _2}a + {\log _2}b.$

Bài 20 :

Cho $a > 0,a \ne 1$ và $b > 0$ . Mệnh đề đúng là:

A. ${\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2}lo{g_a}b.$

B. ${\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = 2 + 2{\log _a}b.$

C. ${\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}lo{g_a}b.$

D. ${\log _{{a^2}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}lo{g_a}b.$

Bài 21 :

Nếu ${\log _2}3 = a$ thì ${\log _6}9$ bằng:

A. $\frac{a}{{a + 1}}.$

B. $\frac{a}{{a + 2}}.$

C. $\frac{{2a}}{{a + 2}}.$

D. $\frac{{2a}}{{a + 1}}.$

Bài 22 :

Cho $a > 0,b > 0$ thỏa mãn ${a^2} + {b^2} = 7ab$. Khi đó,  $\log \left( {a + b} \right)$ bằng:

A. $\log 9 + \frac{1}{2}\left( {\log a + \log b} \right).$

B. $\log 3 + \frac{1}{2}\log a.\log b.$

C. $\log 3 + \frac{1}{2}\log a + \log b.$

D. $\log 3 + \frac{1}{2}\left( {\log a + \log b} \right).$

Bài 23 :

Tính:

a) $A = \frac{{{{25}^{{{\log }_5}6}} + {{49}^{{{\log }_7}8}} - 3}}{{{3^{1 + {{\log }_9}4}} + {4^{2 - {{\log }_2}3}} + {5^{{{\log }_{125}}27}}}};$       

b) $\frac{{{{36}^{{{\log }_6}5}} + {{10}^{1 - \log 2}} - 3{}^{{{\log }_9}36}}}{{{{\log }_2}\left( {{{\log }_2}\sqrt {\sqrt[4]{2}} } \right)}};$

c) $C = {\log _{\frac{1}{4}}}\left( {{{\log }_3}4.{{\log }_2}3} \right);$                 

d) $D = {\log _4}2.{\log _6}4.{\log _8}6.$

Bài 24 :

Cho ${\log _a}b = 4.$ Tính:

a) ${\log _a}\left( {{a^{\frac{1}{2}}}{b^5}} \right);$                                     

b) ${\log _a}\left( {\frac{{a\sqrt b }}{{b\sqrt[3]{a}}}} \right);$

c) ${\log _{{a^3}{b^2}}}\left( {{a^2}{b^3}} \right);$                                    

d) ${\log _{a\sqrt[3]{b}}}\left( {\sqrt[4]{{a\sqrt b }}} \right).$

Bài 25 :

a) Cho ${\log _2}3 = a.$ Tính ${\log _{18}}72$ theo $a.$

b) Cho $\log 2 = a.$ Tính ${\log _{20}}50$ theo $a.$

Bài 26 :

Cho $x > 0,y > 0$ thỏa mãn ${x^2} + 4{y^2} = 6xy.$ Chứng minh rằng: $2\log \left( {x + 2y} \right) = 1 + \log x + \log y.$

Bài 27 :

Cho $a,b,c,x,y,z$ là các số thực dương khác 1 và ${\log _x}a,{\rm{ }}{\log _y}b,{\rm{ }}{\log _z}c$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng: ${\log _b}y = \frac{{2{{\log }_a}x.{{\log }_c}z}}{{{{\log }_a}x + {{\log }_c}z}}.$

Bài 28 :

Giá trị của ${\log _2}9 - {\log _2}36$ bằng:

A. $2.$

B. $4.$

C. $- 4.$

D. $- 2.$

Bài 29 :

Nếu $\log 2 = a$ thì $\log 4000$ bằng:

A. $2a + 3.$

B. $3{a^2}.$

C. $\frac{1}{2}a + 3.$

D. ${a^2} + 3.$

Bài 30 :

Nếu ${\log _{12}}6 = a$ thì ${\log _2}6$ bằng:

A. $\frac{a}{{1 + a}}.$

B. $\frac{{2a}}{{1 - a}}.$

C. $\frac{a}{{1 - a}}.$

D. $\frac{{2a}}{{1 + a}}.$