Nêu những tính chất của phép tính lũy thừa với số mũ nguyên của một số thực dương.

Bài 1 :

Rút gọn biểu thức $P = {a^{\frac{3}{2}}}.\sqrt[3]{a}$ với $a > 0$.

Bài 2 :

Cho số thực $a > 0$ và $a \ne 1.$ Hãy rút gọn biểu thức $P = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {a^{\frac{5}{2}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {{a^{\frac{7}{{12}}}} - {a^{\frac{{19}}{{12}}}}} \right)}}.$

Bài 3 :

Cho a là số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

Bài 4 :

Rút gọn biểu thức: $A = \frac{{{{\left( {{a^{\sqrt 2  - 1}}} \right)}^{1 + \sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 5  - 1}}.{a^{3 - \sqrt 5 }}}}\,\,\,\left( {a > 0} \right).$

Bài 5 :

Thực hiện phép tính:

a) ${27^{\frac{2}{3}}} + {81^{ - 0,75}} - {25^{0,5}};$

b) ${4^{2 - 3\sqrt 7 }}{.8^{2\sqrt 7 }}.$

Bài 6 :

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = \frac{{{x^5}{y^{ - 2}}}}{{{x^3}y}}\,\,\,\left( {x,y \ne 0} \right);$                                     

b) $B = \frac{{{x^2}{y^{ - 3}}}}{{{{\left( {{x^{ - 1}}{y^4}} \right)}^{ - 3}}}}\,\,\,\left( {x,y \ne 0} \right).$

Bài 7 :

Nếu ${2^\alpha } = 9$ thì ${\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{\frac{\alpha }{8}}}$ có giá trị bằng

A. $\frac{1}{3}$.        

B. 3.                       

C. $\frac{1}{9}$.         

D. $\frac{1}{{\sqrt 3 }}$.

Bài 8 :

Tính:

a) ${\left( {\frac{1}{{256}}} \right)^{ - 0,75}} + {\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^{ - \frac{4}{3}}}$.

b) ${\left( {\frac{1}{{49}}} \right)^{ - 1,5}} - {\left( {\frac{1}{{125}}} \right)^{ - \frac{2}{3}}}$.

c) $\left( {{4^{3 + \sqrt 3 }} - {4^{\sqrt 3  - 1}}} \right){.2^{ - 2\sqrt 3 }}$.

Bài 9 :

Cho a, b là những số thực dương. Viết các biếu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

a, ${a^{\frac{1}{3}}}.\sqrt a$

b, ${b^{\frac{1}{2}}}.{b^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{b}$

c, ${a^{\frac{4}{3}}}:\sqrt[3]{a}$

d, $\sqrt[3]{b}:{b^{\frac{1}{6}}}$

Bài 10 :

Rút gọn mỗi biểu thức sau:

a) $\frac{{{a^{\frac{7}{3}}} - {a^{\frac{1}{3}}}}}{{{a^{\frac{4}{3}}} - {a^{\frac{1}{3}}}}} \,\,\,(a > 0;a \ne 1)$.

b) $\sqrt [3] {\sqrt {{a^{12}b^{6}}}}\,\,\,(a > 0;b > 0)$.

Bài 11 :

Viết các số sau theo thứ tự tăng dần:

a) ${1^{1,5}}\,;\,{3^{ - 1}}\,;\,{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 2}}$.

b) ${2022^0};{\left( {\frac{4}{5}} \right)^{ - 1}};{5^{\frac{1}{2}}}$.

Bài 12 :

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số sau:

a) ${6^{\sqrt 3 }}$ và $36$.

b) ${(0,2)^{\sqrt {3} }}$ và $({0,2})^{\sqrt 5}$.

Bài 13 :

a) Tìm x trong mỗi trường hợp sau: ${3^x} = 9;\,{3^x} = \frac{1}{9}$.

b) Có bao nhiêu số thực x thỏa mãn: ${3^x} = 5$.

Bài 14 :

Tính:

a) ${8^{{{\log }_2}5}}$

b) ${\left( {\frac{1}{{10}}} \right)^{\log 81}}$

c) ${5^{{{\log }_{25}}16}}$

Bài 15 :

Nếu ${3^x} = 5$ thì ${3^{2x}}$ bằng:

A. 15

B. 125

C. 10

D. 25

Bài 16 :

Viết các biểu thức sau về lũy thừa cơ số a:

a) $A = \sqrt[3]{{5\sqrt {\frac{1}{5}} }};\,\,a = 5$.

b) $B = \frac{{4\sqrt[5]{2}}}{{\sqrt[3]{4}}};\,\,a = \sqrt 2$.

Bài 17 :

Cho x; y là các số thực dương. Rút gọn mỗi biểu thức sau:

$A = \frac{{{x^{\frac{5}{4}}}y + x.{y^{\frac{5}{4}}}}}{{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}}}$.

$B = {\left( {\sqrt[7]{{\frac{x}{y}\sqrt[5]{{\frac{y}{x}}}}}} \right)^{\frac{{35}}{4}}}$.

Bài 18 :

So sánh cơ số $a(a > 0)$với $1$; biết rằng:

a) ${a^{\frac{3}{4}}} > {a^{\frac{5}{6}}}$

b) ${a^{\frac{{11}}{6}}} < {a^{\frac{{15}}{8}}}$

Bài 19 :

Rút gọn các biễu thức sau:

a) $\sqrt[5]{{32{x^{15}}{y^{20}}}}$

b)$6\sqrt[3]{{9{x^2}}} \cdot 3\sqrt[3]{{24x}}$.

Bài 20 :

Rút gọn các biễu thức sau:

a) $2\sqrt {12}  - 3\sqrt {27}  + 2\sqrt {48}$

b) $8xy - \sqrt {25{x^2}{y^2}}  + \sqrt[3]{{8{x^3}{y^3}}}(x > 0,y > 0)$

Bài 21 :

Cho a là số thực đương. Rút gọn các biểu thức sau:

a) ${\left( {{a^{\sqrt 6 }}} \right)^{\sqrt {24} }}$

b)${a^{\sqrt 2 }}{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2  - 1}}$;

c) ${a^{ - \sqrt 3 }}:{a^{{{(\sqrt 3  - 1)}^2}}}$

d) $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[{12}]{{{a^5}}}$

Bài 22 :

Cho a là số dương. Rút gọn biểu thức $A = \frac{{\sqrt a  \cdot \sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt[6]{a}}}$, ta được kết quả là

A. $a$.

B. ${a^2}$.

C. ${a^{\frac{1}{3}}}$.

D. ${a^{\frac{1}{2}}}$.

Bài 23 :

Giá trị của biểu thức $P = {2^{1 - \sqrt 2 }}{.2^{3 + \sqrt 2 }}{.4^{\frac{1}{2}}}$ bằng:

A. $128.$

B. $64.$

C. $16.$

D. $32.$

Bài 24 :

Nếu $a > 1$ thì:

A. ${a^{ - \sqrt 3 }} > \frac{1}{{{a^{\sqrt 5 }}}}.$

B. ${a^{ - \sqrt 3 }} < \frac{1}{{{a^{\sqrt 5 }}}}.$

C. ${a^{ - \sqrt 3 }} \le \frac{1}{{{a^{\sqrt 5 }}}}.$

D. ${a^{ - \sqrt 3 }} = \frac{1}{{{a^{\sqrt 5 }}}}.$

Bài 25 :

Nếu ${\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^{a - 1}} < 2 + \sqrt 3$ thì:

A. $a > 0.$

B. $a > 1.$

C. $a < 1.$

D. $a < 0.$

Bài 26 :

Nếu ${a^{\sqrt 3 }} < {a^{\sqrt 2 }}$ thì:

A. $a > 1.$

B. $a < 1.$

C. $0 < a < 1.$

D. $a > 0.$

Bài 27 :

Biểu thức $Q = {a^{\sqrt 3 }}.{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 3  - 1}}$ với $a > 0$ được rút gọn bằng:

A. $\frac{1}{a}.$

B. ${a^3}.$

C. $a.$

D. $1.$

Bài 28 :

Viết các biểu thức sau về lũy thừa cơ số a, biết:

a) $A = \sqrt[7]{{3.\sqrt[5]{{\frac{1}{3}}}}}$ với $a = 3;$                      

b) $B = \frac{{25\sqrt[3]{5}}}{{\sqrt {125} }}$ với $a = \sqrt 5 .$            

Bài 29 :

Không sử dụng máy tính cầm tay, so sánh hai số a và b, biết:

a) $a = {\left( {\sqrt 3  - 1} \right)^{\sqrt 2 }}$ và $b = {\left( {\sqrt 3  - 1} \right)^{\sqrt 3 }};$   b) $a = {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^\pi }$ và $b = {\left( {\sqrt 2  + 1} \right)^e};$    

c) $a = \frac{1}{{{3^{400}}}}$ và $b = \frac{1}{{{4^{300}}}};$                      

d) $a = \frac{8}{{\sqrt[4]{{27}}}}$ và $b = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^{\frac{3}{4}}}.$

Bài 30 :

Xác định các giá trị của số thực a thỏa mãn:

a) ${a^{\frac{1}{2}}} > {a^{\sqrt 3 }};$                  

b) ${a^{ - \frac{3}{2}}} < {a^{\frac{2}{3}}};$                   

c) ${\left( {\sqrt 2 } \right)^a} > {\left( {\sqrt 3 } \right)^a}.$