Nêu những tính chất của phép tính lũy thừa với số mũ nguyên của một số thực dương.

Bài 1 :

Rút gọn biểu thức $P = {a^{\frac{3}{2}}}.\sqrt[3]{a}$ với $a > 0$.

Bài 2 :

Cho số thực \(a > 0\) và \(a \ne 1.\) Hãy rút gọn biểu thức \(P = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\left( {{a^{\frac{1}{2}}} - {a^{\frac{5}{2}}}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {{a^{\frac{7}{{12}}}} - {a^{\frac{{19}}{{12}}}}} \right)}}.\)

Bài 3 :

Cho a là số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

Bài 4 :

Rút gọn biểu thức: \(A = \frac{{{{\left( {{a^{\sqrt 2  - 1}}} \right)}^{1 + \sqrt 2 }}}}{{{a^{\sqrt 5  - 1}}.{a^{3 - \sqrt 5 }}}}\,\,\,\left( {a > 0} \right).\)

Bài 5 :

Thực hiện phép tính:

a) \({27^{\frac{2}{3}}} + {81^{ - 0,75}} - {25^{0,5}};\)

b) \({4^{2 - 3\sqrt 7 }}{.8^{2\sqrt 7 }}.\)

Bài 6 :

Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(A = \frac{{{x^5}{y^{ - 2}}}}{{{x^3}y}}\,\,\,\left( {x,y \ne 0} \right);\)                                     

b) \(B = \frac{{{x^2}{y^{ - 3}}}}{{{{\left( {{x^{ - 1}}{y^4}} \right)}^{ - 3}}}}\,\,\,\left( {x,y \ne 0} \right).\)

Bài 7 :

Nếu \({2^\alpha } = 9\) thì \({\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{\frac{\alpha }{8}}}\) có giá trị bằng

A. \(\frac{1}{3}\).        

B. 3.                       

C. \(\frac{1}{9}\).         

D. \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

Bài 8 :

Tính:

a) \({\left( {\frac{1}{{256}}} \right)^{ - 0,75}} + {\left( {\frac{1}{{27}}} \right)^{ - \frac{4}{3}}}\).

b) \({\left( {\frac{1}{{49}}} \right)^{ - 1,5}} - {\left( {\frac{1}{{125}}} \right)^{ - \frac{2}{3}}}\).

c) \(\left( {{4^{3 + \sqrt 3 }} - {4^{\sqrt 3  - 1}}} \right){.2^{ - 2\sqrt 3 }}\).

Bài 9 :

Cho a, b là những số thực dương. Viết các biếu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ:

a, \({a^{\frac{1}{3}}}.\sqrt a \)

b, \({b^{\frac{1}{2}}}.{b^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{b}\)

c, \({a^{\frac{4}{3}}}:\sqrt[3]{a}\)

d, \(\sqrt[3]{b}:{b^{\frac{1}{6}}}\)

Bài 10 :

Rút gọn mỗi biểu thức sau:

a) \(\frac{{{a^{\frac{7}{3}}} - {a^{\frac{1}{3}}}}}{{{a^{\frac{4}{3}}} - {a^{\frac{1}{3}}}}} \,\,\,(a > 0;a \ne 1)\).

b) \(\sqrt [3] {\sqrt {{a^{12}b^{6}}}}\,\,\,(a > 0;b > 0)\).

Bài 11 :

Viết các số sau theo thứ tự tăng dần:

a) \({1^{1,5}}\,;\,{3^{ - 1}}\,;\,{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 2}}\).

b) \({2022^0};{\left( {\frac{4}{5}} \right)^{ - 1}};{5^{\frac{1}{2}}}\).

Bài 12 :

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số sau:

a) \({6^{\sqrt 3 }}\) và \(36\).

b) \({(0,2)^{\sqrt {3} }}\) và \(({0,2})^{\sqrt 5}\).

Bài 13 :

a) Tìm x trong mỗi trường hợp sau: \({3^x} = 9;\,{3^x} = \frac{1}{9}\).

b) Có bao nhiêu số thực x thỏa mãn: \({3^x} = 5\).

Bài 14 :

Tính:

a) \({8^{{{\log }_2}5}}\)

b) \({\left( {\frac{1}{{10}}} \right)^{\log 81}}\)

c) \({5^{{{\log }_{25}}16}}\)

Bài 15 :

Nếu \({3^x} = 5\) thì \({3^{2x}}\) bằng:

A. 15

B. 125

C. 10

D. 25

Bài 16 :

Viết các biểu thức sau về lũy thừa cơ số a:

a) \(A = \sqrt[3]{{5\sqrt {\frac{1}{5}} }};\,\,a = 5\).

b) \(B = \frac{{4\sqrt[5]{2}}}{{\sqrt[3]{4}}};\,\,a = \sqrt 2 \).

Bài 17 :

Cho x; y là các số thực dương. Rút gọn mỗi biểu thức sau:

\(A = \frac{{{x^{\frac{5}{4}}}y + x.{y^{\frac{5}{4}}}}}{{\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y}}}\).

\(B = {\left( {\sqrt[7]{{\frac{x}{y}\sqrt[5]{{\frac{y}{x}}}}}} \right)^{\frac{{35}}{4}}}\).

Bài 18 :

So sánh cơ số \(a(a > 0)\)với \(1\); biết rằng:

a) \({a^{\frac{3}{4}}} > {a^{\frac{5}{6}}}\)

b) \({a^{\frac{{11}}{6}}} < {a^{\frac{{15}}{8}}}\)

Bài 19 :

Rút gọn các biễu thức sau:

a) \(\sqrt[5]{{32{x^{15}}{y^{20}}}}\)

b)\(6\sqrt[3]{{9{x^2}}} \cdot 3\sqrt[3]{{24x}}\).

Bài 20 :

Rút gọn các biễu thức sau:

a) \(2\sqrt {12}  - 3\sqrt {27}  + 2\sqrt {48} \)

b) \(8xy - \sqrt {25{x^2}{y^2}}  + \sqrt[3]{{8{x^3}{y^3}}}(x > 0,y > 0)\)

Bài 21 :

Cho a là số thực đương. Rút gọn các biểu thức sau:

a) \({\left( {{a^{\sqrt 6 }}} \right)^{\sqrt {24} }}\)

b)\({a^{\sqrt 2 }}{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 2  - 1}}\);

c) \({a^{ - \sqrt 3 }}:{a^{{{(\sqrt 3  - 1)}^2}}}\)

d) \(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[{12}]{{{a^5}}}\)

Bài 22 :

Cho a là số dương. Rút gọn biểu thức \(A = \frac{{\sqrt a  \cdot \sqrt[3]{{{a^2}}}}}{{\sqrt[6]{a}}}\), ta được kết quả là

A. \(a\).

B. \({a^2}\).

C. \({a^{\frac{1}{3}}}\).

D. \({a^{\frac{1}{2}}}\).

Bài 23 :

Giá trị của biểu thức \(P = {2^{1 - \sqrt 2 }}{.2^{3 + \sqrt 2 }}{.4^{\frac{1}{2}}}\) bằng:

A. \(128.\)

B. \(64.\)

C. \(16.\)

D. \(32.\)

Bài 24 :

Nếu \(a > 1\) thì:

A. \({a^{ - \sqrt 3 }} > \frac{1}{{{a^{\sqrt 5 }}}}.\)

B. \({a^{ - \sqrt 3 }} < \frac{1}{{{a^{\sqrt 5 }}}}.\)

C. \({a^{ - \sqrt 3 }} \le \frac{1}{{{a^{\sqrt 5 }}}}.\)

D. \({a^{ - \sqrt 3 }} = \frac{1}{{{a^{\sqrt 5 }}}}.\)

Bài 25 :

Nếu \({\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^{a - 1}} < 2 + \sqrt 3 \) thì:

A. \(a > 0.\)

B. \(a > 1.\)

C. \(a < 1.\)

D. \(a < 0.\)

Bài 26 :

Nếu \({a^{\sqrt 3 }} < {a^{\sqrt 2 }}\) thì:

A. \(a > 1.\)

B. \(a < 1.\)

C. \(0 < a < 1.\)

D. \(a > 0.\)

Bài 27 :

Biểu thức \(Q = {a^{\sqrt 3 }}.{\left( {\frac{1}{a}} \right)^{\sqrt 3  - 1}}\) với \(a > 0\) được rút gọn bằng:

A. \(\frac{1}{a}.\)

B. \({a^3}.\)

C. \(a.\)

D. \(1.\)

Bài 28 :

Viết các biểu thức sau về lũy thừa cơ số a, biết:

a) \(A = \sqrt[7]{{3.\sqrt[5]{{\frac{1}{3}}}}}\) với \(a = 3;\)                      

b) \(B = \frac{{25\sqrt[3]{5}}}{{\sqrt {125} }}\) với \(a = \sqrt 5 .\)            

Bài 29 :

Không sử dụng máy tính cầm tay, so sánh hai số a và b, biết:

a) \(a = {\left( {\sqrt 3  - 1} \right)^{\sqrt 2 }}\) và \(b = {\left( {\sqrt 3  - 1} \right)^{\sqrt 3 }};\)   b) \(a = {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^\pi }\) và \(b = {\left( {\sqrt 2  + 1} \right)^e};\)    

c) \(a = \frac{1}{{{3^{400}}}}\) và \(b = \frac{1}{{{4^{300}}}};\)                      

d) \(a = \frac{8}{{\sqrt[4]{{27}}}}\) và \(b = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^{\frac{3}{4}}}.\)

Bài 30 :

Xác định các giá trị của số thực a thỏa mãn:

a) \({a^{\frac{1}{2}}} > {a^{\sqrt 3 }};\)                  

b) \({a^{ - \frac{3}{2}}} < {a^{\frac{2}{3}}};\)                   

c) \({\left( {\sqrt 2 } \right)^a} > {\left( {\sqrt 3 } \right)^a}.\)