Số lượng của một loài vi khuẩn sau x giờ được tính bởi công thức \(f\left( x \right) = A{e^{rx}}\), trong đó, \(A\) là số lượng vi khuẩn ban đầu, \(r\) là tỉ lệ tăng trưởng \(\left( {r > 0} \right)\). Biết số vi khuẩn ban đầu là 1000 con và sau 10 giờ tăng trưởng thành 5000 con.

a) Tính tỉ lệ tăng trưởng của vi khuẩn.

b) Hỏi sau khoảng bao nhiêu giờ thì số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần so với số lượng vi khuẩn ban đầu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Tìm đạo hàm của các hàm số:

a) \(y = {9^x}\) tại \(x = 1\);                           

b) \(y = \ln x\) tại \(x = \frac{1}{3}\).

Cho biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{x} = 1\). Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số:

a) \(y = {e^x}\);

b) \(y = \ln x\).

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = \left( {{x^2} - x} \right){.2^x}\);                                  

b) \(y = {x^2}{\log _3}x\);         

c) \(y = {e^{3x + 1}}\).

Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\log _2}\left( {2x - 1} \right).\)

a) Sử dụng giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + t} \right)}}{t} = 1\) và đẳng thức \(\ln \left( {x + h} \right) - \ln x = \ln \left( {\frac{{x + h}}{x}} \right) = \ln \left( {1 + \frac{h}{x}} \right),\) tính đạo hàm của hàm số \(y = \ln x\) tại điểm x > 0 bằng định nghĩa.

b) Sử dụng đẳng thức \({\log _a}x = \frac{{\ln x}}{{\ln a}}\,\,\left( {0 < a \ne 1} \right),\) hãy tính đạo hàm của hàm số \(y = {\log _a}x.\)

a) Sử dụng giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{e^h} - 1}}{h} = 1\) và đẳng thức \({e^{x + h}} - {e^x} = {e^x}\left( {{e^h} - 1} \right),\) tính đạo hàm của hàm số \(y = {e^x}\) tại x bằng định nghĩa.

b) Sử dụng đẳng thức \({a^x} = {e^{x\ln a}}\,\,\left( {0 < a \ne 1} \right),\) hãy tính đạo hàm của hàm số \(y = {a^x}.\)

a) Sử dụng phép đổi biến \(t = \frac{1}{x},\) tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}}.\)

b) Với \(y = {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}{x}}},\) tính ln y và tìm giới hạn của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \ln y.\)

c) Đặt \(t = {e^x} - 1.\) Tính x theo t và tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - 1}}{x}.\)

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = {2^{3x - {x^2}}};\)                                 

b) \(y = {\log _3}\left( {4x + 1} \right).\)

Cho hàm số \(f(x) = {x^2}{e^{ - 2x}}\). Tập nghiệm của phương trình \(f'(x) = 0\) là

A. \(\{ 0;1\} \).                        

B. \(\{  - 1;0\} \).

C. \(\{ 0\} \).                            

D. \(\{ 1\} \).

Xét hàm số luỹ thừa \(y = {x^\alpha }\) với \(\alpha \) là số thực.

a) Tìm tập xác định của hàm số đã cho.

b) Bằng cách viết \(y = {x^\alpha } = {e^{\alpha \ln x}}\), tính đạo hàm của hàm số đã cho.

Giải mỗi phương trình sau:

a) \({3^{{x^2} - 4x + 5}} = 9\)

b) \(0,{5^{2x - 4}} = 4\)

c) \({\log _3}(2x - 1) = 3\)

d) \(\log x + \log (x - 3) = 1\)

Đạo hàm của hàm số \(y = {13^x}\) là