Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn \({2^y} + y = 2x + {\log _2}\left( {x + {2^{y - 1}}} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = \frac{x}{y}\) bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Bài 1 :

Hàm số nào dưới đây có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định?

Bài 2 :

Một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ độ cao 2m với vận tốc ban đầu là 24,5m/s. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí thì độ cao h (mét) của vật sau t (giây) được cho bởi công thức: \(h\left( t \right) = 2 + 24,5t - 4,9{t^2}\). Hỏi tại thời điểm nào thì vật đạt độ cao lớn nhất?

Bài 3 :

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) \(y = \sqrt {2x - {x^2}} \);

b) \(y =  - x + \frac{1}{{x - 1}}\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Bài 4 :

Giả sử sự lây lan của một loại virus ở một địa phương có thể được mô hình hóa bằng hàm số \(N\left( t \right) =  - {t^3} + 12{t^2},0 \le t \le 12,\) trong đó N là số người bị nhiễm bệnh (tính bằng trăm người) và t là thời gian (tuần).

a) Hãy ước tính số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương đó.

b) Đạo hàm N’(t) biểu thị tốc độ lây lan của virus (còn gọi là tốc độ truyền bệnh). Hỏi virus sẽ lây lan nhanh nhất khi nào?

Bài 5 :

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y = 2{x^3} - 3{x^2} + 5x + 2\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\);

b) \(y = \left( {x + 1} \right){e^{ - x}}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\).

Bài 6 :

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 1\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\), với đồ thị như Hình 1.16.

a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\).

b) Tính đạo hàm f’(x) và tìm các điểm \(x \in \left( { - 1;2} \right)\) mà \(f'\left( x \right) = 0\).

c) Tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút của đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) và tại các điểm x đã tìm ở câu b. So sánh số nhỏ nhất trong các giá trị này với \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right)\), số lớn nhất trong các giá trị này với \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} f\left( x \right)\).

Bài 7 :

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) \(y = - {x^2} + 4x + 3\);
b) \(y = {x^3} - 2{x^2} + 1\) trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\);
c) \(y = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}}\) trên \(\left( {1; + \infty } \right)\);
d) \(y = \sqrt {4x - 2{x^2}} \).

Bài 8 :

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) \(y = {x^4} - 2{x^2} + 3\);

b) \(y = x.{e^{ - x}}\);

c) \(y = x\ln x\);

d) \(y = \sqrt {x - 1}  + \sqrt {3 - x} \).

Bài 9 :

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) \(y = 2{x^3} - 6x + 3\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\);

b) \(y = {x^4} - 3{x^2} + 2\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\);

c) \(y = x - \sin 2x\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\);

d) \(y = \left( {{x^2} - x} \right){e^x}\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\).

Bài 10 :

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {\left( {x - 2} \right)^2}.{e^x}\) trên đoạn [1; 3] là:

A. 0.

B. \({e^3}\).

C. \({e^4}\).

D. e.

Bài 11 :

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{2x + 1}}{{3x - 2}}\) trên nửa khoảng \(\left[ {2; + \infty } \right)\);
b) \(y = \sqrt {2 - {x^2}} \);

Bài 12 :

Giá trị lớn nhất M của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}\) trên đoạn [2; 4] là

A. \(M = 6\).

B. \(M = 7\).

C. \(M = \frac{{19}}{3}\).

D. \(M = \frac{{20}}{3}\).

Bài 13 :

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\);

b) \(y = x + \sqrt {1 - {x^2}} \)

Bài 14 :

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {9 - {x^2}} \) trên đoạn \(\left[ { - 3;3} \right]\).

Bài 15 :

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x - 2x\) trên đoạn \(\left[ {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right]\).

Bài 16 :

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = 2{x^3} - 6x,x \in \left[ { - 2;2} \right]\) có đồ thị là đường cong ở Hình 9.

a) Dựa vào đồ thị ở Hình 9, hãy cho biết các giá trị \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right);m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right)\) bằng bao nhiêu.

b) Giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) với \(x \in \left( { - 2;2} \right)\)

c) Tính các giá trị của hàm số \(f\left( x \right)\) tại hai đầu mút \( - 2;2\) và tại các điểm \(x \in \left( { - 2;2} \right)\) mà ở đó \(f'\left( x \right) = 0\)

d) So sánh M (hoặc m) với số lớn nhất (hoặc số bé nhất) trong các giá trị tính được ở câu c

Bài 17 :

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số \(y = \frac{{2x - 5}}{{x - 1}}\) trên nửa khoảng \((1;3]\).

Bài 18 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = x + \frac{1}{{x - 1}}\) với \(x > 1\).

a) Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right)\).

b) Lập bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

c) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số \(f\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Bài 19 :

Tìm giá trị lớn nhất của mỗi hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = \frac{4}{{1 + {x^2}}}\).

b) \(f\left( x \right) = x - \frac{3}{x}\) trên nửa khoảng \((0;3]\).

Bài 20 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = x + \frac{4}{x}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

b) \(f\left( x \right) = {x^3} - 12x + 1\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Bài 21 :

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = {x^3} - \frac{3}{2}{x^2}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\)

b) \(f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^3} + {x^2} + 1\) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\)

c) \(f\left( x \right) = {e^x}\left( {{x^2} - 5x + 7} \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\)

d) \(f\left( x \right) = \cos 2x + 2x + 1\) trên đoạn \(\left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\pi } \right]\)

Bài 22 :

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của mỗi hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = 2{x^3} - 6x\) trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\);

b) \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3x + 6}}{{x + 2}}\) trên đoạn \(\left[ {1;5} \right]\);

c) \(f\left( x \right) = \frac{{In\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\);

d) \(f\left( x \right) = 2sin3x + 7x + 1\) trên đoạn \(\left[ {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right]\)

Bài 23 :

Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 cm có thể có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

Bài 24 :

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g(x) = x + \frac{4}{{{x^2}}}\) trên đoạn [1;4]

Bài 25 :

Hình 3 cho ta đồ thị của ba hàm số

\(f(x) = \frac{1}{2}{x^2}\); \(g(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}{x^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;neu\;x \le 2\;\\ - 4x + 10\;\;\;\;neu\;x \ge 2\end{array} \right.\) và \(h(x) = 3 - \frac{1}{2}{x^2}\) trên đoạn [-1;3]

a) Hàm số nào đạt giá trị lớn nhất tại một điểm cực đại của nó?

b) Các hàm số còn lại đạt giá trị lớn nhất tại điểm nào?

Bài 26 :

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(y = {x^3} - 12x + 1\) trên đoạn [-1;3]
b) \(y = - {x^3} + 24{x^2} - 180x + 400\) trên đoạn [3;11]
c) \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\) trên đoạn [3;7]
d) \(y = \sin 2x\) trên đoạn \([0;\frac{{7\pi }}{{12}}]\)

Bài 27 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a) \(y = {x^3} - 3x - 4\) trên nửa khoảng [-3;2)
b) \(y = \frac{{3{x^2} - 4x}}{{{x^2} - 1}}\) trên khoảng \(( - 1; + \infty )\)

Bài 28 :

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2\sqrt {1 - {x^2}}  + {x^2}\)

Bài 29 :

Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 2x + 3} \) trên đoạn [–2; 3] là

A. \(\sqrt 3 \)                   B. \(\sqrt {30} \)              C. \(\sqrt 2 \)                   D. 0

Bài 30 :

Giá trị lớn nhất của hàm số \({(x - 2)^2}.{e^x}\) trên đoạn \([0;3]\) bằng: