Đề bài

Cho tam giác ABC (AB < AC) vuông tại A có đường cao AH.

a) Chứng minh rằng $\Delta ABC\backsim \Delta HAC$ .

b) Lấy điểm I thuộc đoạn AH (I không trùng với A, H). Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với CI tại K. Chứng minh rằng $CH.CB = CI.CK$ .

c) Tia BK cắt tia HA tại điểm D. Chứng minh $CH.CB + DK.DB = C{D^2}$ .

Phương pháp giải

a) Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HAC$ có:

$\widehat {BAC} = \widehat {AHC} = 90^\circ$ (gt)

$\widehat {ACB}$ chung

nên $\Delta ABC\backsim \Delta HAC$ (g.g)

b) Chứng minh $\Delta CHI\backsim \Delta CKB$ (g.g) suy ra $CH\cdot CB=CI\cdot CK$

c) Chứng minh $I$ là trực tâm của $\Delta BDC$ , suy ra $BI \bot DC$ .

Gọi $M$ là giao điểm của BI và DC, khi đó $BM \bot CD$ nên $\widehat {BMC} = 90^\circ$

Chứng minh $\Delta CMI\backsim \Delta CDK$ (g.g) suy ra $CD \cdot CM = CI \cdot CK$

Kết hợp với phần b) ta được $CH \cdot CB = CD \cdot CM\left( { = CI \cdot CK} \right)$ (1)

Chứng minh $\Delta MDB \backsim \Delta KDC$ (g.g) suy ra $DK \cdot DB = DM \cdot DC$ (2)

Cộng (1) và (2) để được điều phải chứng minh.

Lời giải của GV HocTot.XYZ

a) Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HAC$ có:

$\widehat {BAC} = \widehat {AHC} = 90^\circ$ (gt)

$\widehat {ACB}$ chung

nên $\Delta ABC\backsim \Delta HAC$ (g.g)

b) Xét $\Delta CHI$ và $\Delta CKB$ có:

$\widehat {CHI} = \widehat {CKB} = 90^\circ$ (gt)

$\,\widehat {HCI}$ chung

nên $\Delta CHI\backsim \Delta CKB$ (g.g)

suy ra $\frac{{CH}}{{CK}} = \frac{{CI}}{{CB}}$

do đó $CH \cdot CB = CI \cdot CK$

c) Vì $DH \bot BC$ (do $HA \bot BC$ , D thuộc tia HA) nên DH là đường cao của $\Delta BDC$ .

Vì $CK \bot BD$ (do $CI \bot BK$ ) nên CK là đường cao của $\Delta BDC$ .

Mà DH cắt CK tại I nên $I$ là trực tâm của $\Delta BDC$ , suy ra $BI \bot DC$ .

Gọi $M$ là giao điểm của BI và DC, khi đó $BM \bot CD$ nên $\widehat {BMC} = 90^\circ$

Xét $\Delta CMI$ và $\Delta CDK$ , ta có:

$\widehat {CMI} = \widehat {CKD} = 90^\circ$ (cmt)

$\widehat {DCK}$ chung

nên $\Delta CMI\backsim \Delta CKD$ (g.g)

suy ra $\frac{{CM}}{{CK}} = \frac{{CI}}{{CD}}$ , do đó $CD \cdot CM = CI \cdot CK$

Mà từ phần b) ta có: $CH \cdot CB = CI \cdot CK$

Suy ra $CH \cdot CB = CD \cdot CM\left( { = CI \cdot CK} \right)$ (1)

Xét $\Delta MDB$ và $\Delta KDC$ , ta có:

$\widehat {DMB} = \widehat {DKC} = 90^\circ$ (cmt)

$\widehat {BDC}$ chung

nên $\Delta MDB \backsim \Delta KDC$ (g.g)

suy ra $\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{DM}}{{DK}}$ , do đó $DK \cdot DB = DM \cdot DC$ (2)

Từ (1) và (2) ta có:

$CH \cdot CB + DK \cdot DB = CD \cdot CM + DM \cdot DC$ $= DC \cdot (MD + MC) = D{C^2}$

Báo lỗi - Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Cho $\Delta ABC$ vuông tại A có $AB = 6cm$ và $AC = 8cm$ . Đường phân giác của góc ABC cắt AC tại D. Từ C kẻ $CE \bot BD$ kẻ E.

a) Tính độ dài BC và tỉ số $\frac{{AD}}{{DC}}$ .

b) Chứng minh $\Delta ABD\backsim \Delta EBC$ . Từ đó suy ra $BD.EC = AD.BC$ .

c) Chứng minh $\frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{CE}}{{BE}}$ .

d) Gọi EH là đường cao của $\Delta EBC$ . Chứng minh $CH.CB = ED.EB$ .

Xem lời giải >>

Bài 2 :

Trong hình 9.72, cho AH, HE, HF lần lượt là các đường cao của các tam giác ABC, AHB, AHC. Chứng minh rằng

a) ΔAEH ∽ ΔAHB

b) ΔAFH ∽ ΔAHC

c) ΔAFE ∽ ΔABC

Xem lời giải >>

Bài 3 :

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=5cm, AC=4cm. Gọi AH, HD lần lượt là các đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC và đỉnh H của tam giác HAB
a) Chứng minh rằng ΔHDA ∽ ΔAHC

b) Tính độ dài các đoạn thẳng HA, HB, HC, HD

Xem lời giải >>

Bài 4 :

Tính các độ dài x, y, z, t ở các hình 104a, 104b, 104c.

Xem lời giải >>

Bài 5 :

Tính độ dài $AF$ và $EF$ trong Hình 6.112.

Xem lời giải >>

Bài 6 :

Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H. Chứng minh rằng:

a) $HA.HD = HB.HE = HC.HF$ ;

b) $\Delta AFC\backsim \Delta AEB$ và $AF.AB=AE.AC\,;$

c) $\Delta BDF\backsim \Delta EDC$ và DA là tia phân giác của góc EDF.

Xem lời giải >>

Bài 7 :

Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng:

a) $\Delta BDF\backsim \Delta BAC$ và $\Delta CDE\backsim \Delta CAB$ ;

b) $BF.BA + CE.CA = B{C^2}$

Xem lời giải >>

Bài 8 :

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M là một điểm nằm trên cạnh BC (M nằm giữa C và H). Kẻ đường thẳng qua M vuông góc với BC lần lượt cắt AC và tia đối của tia AB tại N và P. Chứng minh rằng:

a) $\Delta ANP\backsim \Delta HBA$ và $\Delta MCN\backsim \Delta MPB$ ;

b) $\frac{{MB}}{{MC}}.\frac{{NC}}{{NA}}.\frac{{PA}}{{PB}} = 1$

Xem lời giải >>

Bài 9 :

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB và AC. Chứng minh rằng:

a) $AM.AB = A{H^2}$ và $AM.AB = AN.AC$

b) $\Delta AMN\backsim \Delta ACB$

Xem lời giải >>

Bài 10 :

Cho ABC và A’B’C’ lần lượt là các tam giác vuông tại đỉnh A và A’. Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm của AC và A’C’. Chứng minh rằng:

a) $B{C^2} + 3B{A^2} = 4B{M^2}$ và $B'C{'^2} + 3B'A{'^2} = 4B'M{'^2}$ ;

b) Nếu $\frac{{BC}}{{BM}} = \frac{{B'C'}}{{B'M'}}$ thì $\Delta ABC\backsim \Delta A'B'C'$ .

Xem lời giải >>

Bài 11 :

Cho hình vuông ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi O là giao điểm của CM và DN.

a) Chứng minh rằng $CM \bot DN$ .

b) Biết $AB = 4cm,$ hãy tính diện tích tam giác ONC.

Xem lời giải >>

Bài 12 :

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của HA, HB, HC. Chứng minh rằng:

a) $\Delta MNP\backsim \Delta ABC$ và tìm tỉ số đồng dạng

b) $\Delta ABN\backsim \Delta CAM$ và $\Delta ACP\backsim \Delta BAM$

c) $AN \bot CM$ và $AP \bot BM$

Xem lời giải >>

Bài 13 :

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AH, AB. Chứng minh rằng $\Delta CAM\backsim \Delta CBN$ và $\Delta CHM\backsim \Delta CAN$

Xem lời giải >>

Bài 14 :

Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10cm. Cho điểm M nằm trên cạnh BC sao cho BM = 4cm. Vẽ đường thẳng MN vuông góc với AC tại N và đường thẳng MP vuông góc với AB.

a) Chứng minh ΔBMP ∽ ΔMCN

b) Tính độ dài đoạn thẳng AM

Xem lời giải >>

Bài 15 :

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M,N lần lượt là các điểm trên các đoạn thẳng AB, AH sao cho AM = 2.MB, AN = $\frac{1}{2}$ NH.

Chứng minh rằng $\Delta CAN\backsim \Delta CBM$ và $\Delta CHN\backsim \Delta CAM$ .

Xem lời giải >>

Bài 16 :

Cho tam giác ABC vuông tại A và các điểm D, E, F như Hình 9.77 sao cho AD là phân giác của góc BAC, DE và DF lần lượt vuông góc với AC và BC. Chứng minh rằng:

a) $\frac{B\text{D}}{BC}=\frac{AB}{AB+AC}$ , từ đó suy ra $A\text{E}=\frac{AB.AC}{AB+AC}$ ;

b) ΔDFC ∽ ΔABC;

c) DF = DB

Xem lời giải >>

Bài 17 :

Cho tam giác ABC có $AB = 3cm,AC = 4cm,BC = 5cm.$ Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho $BD = 2cm.$ Lấy các điểm E, F trên các cạnh AB, AC sao cho DE, DF lần lượt vuông góc với AB, AC.

a) Chứng minh rằng $\Delta BDE\backsim \Delta DCF$

b) Tính độ dài đoạn thẳng AD.

Xem lời giải >>

Bài 18 :

Cho $\Delta ABC$ có AB = 9cm, AC = 12cm, BC = 15cm. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CD = 4cm, trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = 10cm. Kẻ đoạn thẳng MD.

a) Chứng tỏ rằng DM // AB.

b) Chứng minh $\Delta BAC\backsim \Delta MDC$ .

c) Xác định tỉ số giữa diện tích của tam giác MDC với diện tích tam giác ABC.

Xem lời giải >>

Bài 19 :

Cho $\Delta ABC$ có AB = 2cm, AC = 4cm. Qua B dựng đường thẳng cắt AC tại D sao cho $\widehat {ABD} = \widehat {ACB}$ . Gọi AH là đường cao của $\Delta ABC$ , AE là đường cao của $\Delta ABD$ .

a) $\Delta ABD\backsim \Delta ACB$ .

Đúng

Sai

b) $\widehat {ADB} = \widehat {ABC}$ .

Đúng

Sai

c) $AD = 0,5cm,DC = 3,5cm$ .

Đúng

Sai

d) ${S_{\Delta ABH}} = 4{S_{\Delta ADE}}$ .

Đúng

Sai

Xem lời giải >>

Bài 20 :

Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ $AH \bot BD$ tại H.

a) Chứng minh rằng $\Delta ABD\backsim \Delta HBA$ .

b) Chứng minh rằng $B{C^2} = BD.DH$ .

c) Kẻ DE là đường phân giác của tam giác ABD. Gọi I là giao điểm của DE và AH. Chứng minh $\Delta AIE$ cân và $A{E^2} = IH.EB$ .

Xem lời giải >>

Bài 21 :

Cho tam giác ABC cân tại A có đường cao AM, N là trung điểm của AC. Kẻ Ax // BC, cắt MN tại E.

a) M là trung điểm của BC.

b) ME // AB.

c) AE = MC.

d) $\Delta AEN\backsim \Delta CNM$ .

Đúng

Sai

Xem lời giải >>

Bài 22 :

Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD sao cho CE = AF. Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự ở M và N.

1. Chứng minh $CM.DN=a^2$

2. Gọi K là giao điểm của NA và MB. Chứng minh $\widehat{MKN}=90^\circ$ .

Xem lời giải >>