Đề bài

Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ $AH \bot BD$ tại H.

a) Chứng minh rằng $\Delta ABD\backsim \Delta HBA$.

b) Chứng minh rằng $B{C^2} = BD.DH$.

c) Kẻ DE là đường phân giác của tam giác ABD. Gọi I là giao điểm của DE và AH. Chứng minh $\Delta AIE$ cân và $A{E^2} = IH.EB$.

Phương pháp giải

a) Chứng minh $\widehat {BAD} = \widehat {AHB} = 90^\circ $

Từ đó chứng minh $\Delta ABD\backsim \Delta HBA$ (g.g)

b) Chứng minh $\Delta ABD\backsim \Delta HAD\left( g.g \right)$ suy ra $\frac{{AD}}{{DH}} = \frac{{BD}}{{AD}}$ hay $A{D^2} = BD.DH$

Kết hợp đặc điểm của hình chữ nhật ta có AD = BC

Do đó $B{C^2} = BD.DH$ (đpcm)

c) Chứng minh $\Delta AIE$ cân tại A

Sử dụng tính chất tia phân giác cho DE và từ $\Delta ABD\backsim \Delta HAD$ suy ra $\widehat {DBA} + \widehat {EDB} = \widehat {HAD} + \widehat {EDA}$

Sử dụng tính chất góc ngoài cho $\Delta AID$ và $\Delta DEB$ để có $\widehat {AIE} = \widehat {HAD} + \widehat {EDA}$ và $\widehat {AEI} = \widehat {EBD} + \widehat {BDE}$

Suy ra $\widehat {AIE} = \widehat {AEI}$ nên $\Delta AIE$ cân tại A.

Chứng minh $A{E^2} = IH.EB$

Từ $\Delta AIE$ cân tại A có AE = AI

Kết hợp tính chất đường phân giác DI của tam giác $\Delta ADH$ suy ra $\frac{{IH}}{{IA}} = \frac{{DH}}{{DA}}$ nên $\frac{{IH}}{{AE}} = \frac{{DH}}{{DA}}$

Chứng minh $\frac{{DH}}{{AD}} = \frac{{AD}}{{BD}}$ suy ra $\frac{{IH}}{{AE}} = \frac{{AD}}{{BD}}$

Kết hợp tính chất đường phân giác DE của tam giác $\Delta ADB$ suy ra $\frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{AD}}{{BD}}$

Suy ra $\frac{{IH}}{{AE}} = \frac{{AE}}{{EB}}$, do đó $A{E^2} = IH.EB$.

Lời giải của GV HocTot.XYZ

a) Vì ABCD là hình chữ nhật nên $\widehat {BAD} = 90^\circ $.

Vì $AH \bot BD$ tại H nên ta có: $\widehat {BAD} = \widehat {AHB} = 90^\circ $.

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta HBA$ có:

$\widehat {BAD} = \widehat {AHB} = 90^\circ $ (cmt)

$\widehat {ABD}$ chung

nên $\Delta ABD\backsim \Delta HBA$ (g.g) (đpcm)

b) Xét $\Delta ABD$ và $\Delta HAD$ có:

$\widehat {BAD} = \widehat {AHD} = 90^\circ $

$\widehat {BDA}$ chung

nên $\Delta ABD\backsim \Delta HAD\left( g.g \right)$

suy ra $\frac{{AD}}{{DH}} = \frac{{BD}}{{AD}}$ hay $A{D^2} = BD.DH$

Mà AD = BC (do ABCD là hình chữ nhật)

Do đó $B{C^2} = BD.DH$ (đpcm)

c) Chứng minh $\Delta AIE$ cân tại A

Vì DE là đường phân giác của tam giác ABD nên $\widehat {ADE} = \widehat {EDB}$

Vì $\Delta ABD\backsim \Delta HAD\left( cmt \right)$ nên $\widehat {DBA} = \widehat {HAD}$ (hai góc tương ứng)

suy ra $\widehat {DBA} + \widehat {EDB} = \widehat {HAD} + \widehat {EDA}$ (1)

Xét $\Delta AID$ có $\widehat {AIE} = \widehat {IAD} + \widehat {IDA} = \widehat {HAD} + \widehat {EDA}$ (tính chất góc ngoài) (2)

Xét $\Delta DEB$ có $\widehat {AEI} = \widehat {EBD} + \widehat {BDE}$ (tính chất góc ngoài) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat {AIE} = \widehat {AEI}$.

Do đó $\Delta AIE$ cân tại A (đpcm)

Chứng minh $A{E^2} = IH.EB$

$\Delta AIE$ cân tại A suy ra AE = AI

Xét $\Delta ADH$ có DI là đường phân giác nên $\frac{{IH}}{{IA}} = \frac{{DH}}{{DA}}$, suy ra $\frac{{IH}}{{AE}} = \frac{{DH}}{{DA}}$ (4)

Vì $\Delta ABD\backsim \Delta HAD\left( cmt \right)$ nên $\frac{{DH}}{{AD}} = \frac{{AD}}{{BD}}$ (5)

Từ (4) và (5) suy ra $\frac{{IH}}{{AE}} = \frac{{AD}}{{BD}}$ (6)

Xét $\Delta ADB$ có DE là đường phân giác nên $\frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{AD}}{{BD}}$ (7)

Từ (6) và (7) suy ra $\frac{{IH}}{{AE}} = \frac{{AE}}{{EB}}$, do đó $A{E^2} = IH.EB$ (đpcm)

Báo lỗi - Góp ý

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Cho $\Delta ABC$ vuông tại A có $AB = 6cm$ và $AC = 8cm$. Đường phân giác của góc ABC cắt AC tại D. Từ C kẻ $CE \bot BD$ kẻ E.

a) Tính độ dài BC và tỉ số $\frac{{AD}}{{DC}}$.

b) Chứng minh $\Delta ABD\backsim \Delta EBC$. Từ đó suy ra $BD.EC = AD.BC$.

c) Chứng minh $\frac{{CD}}{{BC}} = \frac{{CE}}{{BE}}$.

d) Gọi EH là đường cao của $\Delta EBC$. Chứng minh $CH.CB = ED.EB$.