Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian bằng phương pháp toạ độ - Toán 12

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho \(\overrightarrow a \left( {{x_a};{y_a};{z_a}} \right)\) và \(\overrightarrow b \left( {{x_b};{y_b};{z_b}} \right)\).

Biểu thức toạ độ tích vô hướng của \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là \(\vec a.\vec b= {x_a}.{x_b} + {y_a}.{y_b} + {z_a}.{z_b}\).

Ví dụ minh hoạ:

1) Trong không gian Oxyz, cho \(\vec a= (1; - 2;2)\), \(\vec b= ( - 1;2;1)\).

Ta có tích vô hướng \(\vec a.\vec b= 1.( - 1) + ( - 2).2 + 2.1 =  - 3\).

2) Trong không gian Oxyz, cho hai vecto \(\vec a= \left( {1; - 2;1} \right)\) và \(\vec b= \left( {2; - 4; - 2} \right)\).

Khi đó \(\vec a.\vec b= 1.2 + \left( { - 2} \right).\left( { - 4} \right) + 1.\left( { - 2} \right) = 8\).

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d và d’ tương ứng có vecto chỉ phương \(\overrightarrow a  = ({a_1};{a_2};{a_3})\), \(\overrightarrow {a'}  = ({a_1}';{a_2}';{a_3}')\). Khi đó:

\(d \bot d' \Leftrightarrow \overrightarrow a  \cdot \overrightarrow {a'}  = 0 \Leftrightarrow {a_1}{a_1}' + {a_2}{a_2}' + {a_3}{a_3}' = 0\).

Ví dụ minh hoạ:

Trong không gian Oxyz, chứng minh hai đường thẳng sau đây vuông góc với nhau:

d': \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - t\\y =  - 3 + 2t\\z = 4t\end{array} \right.\) \((t \in R)\) và d’: \(\frac{{x - 9}}{2} = \frac{{y - 13}}{3} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}\).

Giải:

d và d’ lần lượt có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow a  = \left( { - 1;2;4} \right)\;\) và \(\overrightarrow {a'}  = \left( {2;3; - 1} \right)\;\).

Ta có \(\overrightarrow a .\overrightarrow {a'}  =  - 2 + 6 - 4 = 0\). Suy ra \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow {a'} \). Vậy \(d \bot d'\).