Cách lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với hai đường thẳng chéo nhau - Toán 12

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) chéo nhau.

Để lập phương trình đường thẳng d đi qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và vuông góc với cả  \({d_1}\), \({d_2}\), ta thực hiện:

Bước 1: Xác định cặp vecto chỉ phương của \({d_1}\) và \({d_2}\): \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \).

Bước 2: Tìm vecto chỉ phương của d: \(\overrightarrow u  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = (a;b;c)\).

Bước 3: Lập phương trình đường thẳng d qua M, nhận \(\overrightarrow u \) làm vecto chỉ phương.

+ Phương trình chính tắc của d: \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b} = \frac{{z - {z_0}}}{c}\) \(\left( {abc \ne 0} \right)\).

+ Phương trình tham số của d: \(\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\).

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1;2;3) và vuông góc với hai đường thẳng \({d_1}\): \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\) và \({d_2}\): \(\frac{{x - 2}}{3} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{2}\).

Giải:

Vecto chỉ phương của \({d_1}\) là \(\overrightarrow {{u_1}}  = (2;1; - 1)\), vecto chỉ phương của \({d_2}\) là \(\overrightarrow {{u_2}}  = (3;2;2)\).

Gọi đường thẳng cần tìm là d, có vecto chỉ phương là \(\vec u\).

Vì d vuông góc với \({d_1}\), \({d_2}\) nên ta có \(\vec u{\rm{\;}} = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = (4; - 7;1)\).

Đường thẳng d có vecto chỉ phương \(\vec u{\rm{\;}} = (4; - 7;1)\) và đi qua A(1;2;3) có phương trình chính tắc là \(\frac{{x - 1}}{4} = \frac{{y - 2}}{{ - 7}} = \frac{{z - 3}}{1}\).

Phương trình tham số của d là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 2 - 7t\\z = 3 + t\end{array} \right.\).