Cách xác định hệ số trong khai triển nhị thức Newton - Toán 10

Với khai triển \({(a{x^p} + b{x^q})^n}\) (p, q là các hằng số), ta có:

Số hạng chứa \({x^m}\) ứng với giá trị k thoả mãn \(np - pk + qk = m\). Từ đó tìm \(k = \frac{{m - np}}{{q - p}}\).

Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^m}\) là: với giá trị k đã tìm được ở trên.

Với khai triển \(P(x) = {(a + b{x^p} + c{x^q})^n}\) (p, q là các hằng số).

Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của \({x^m}\)

* Chú ý:

- Nếu k không nguyên hoặc \(k > n\) thì trong khai triển không chứa \({x^m}\), hệ số phải tìm bằng 0.

- Nếu hỏi hệ số không chứa x tức là tìm hệ số chứa \({x^0}\).

1) Khai triển biểu thức \({(x - 2y)^4}\) và tìm hệ số của số hạng chứa \({y^4}\).

Giải:

Coi a = x, b = -2y.

\({(x - 2y)^4} = {\left[ {x + ( - 2y)} \right]^4} \)

\(= {x^4} + 4{x^3}( - 2y) + 6{x^2}{( - 2y)^2} + 4x{( - 2y)^3} + {( - 2y)^4}\)

\( = {x^4} - 8{x^3}y + 24{x^2}{y^2} - 32x{y^3} + 16{y^4}\).

2)

a) Xác định hệ số của \({x^6}\) trong khai triển \({\left( {2x + 1} \right)^{12}}\).

b) Xác định hệ số của \({x^9}\) trong khai triển \({\left( {3x - 2} \right)^{18}}\).

Giải:

a) Số hạng chứa \({x^6}\) là \(C_{12}^6.{\left( {2x} \right)^6} = C_{12}^6{.2^6}{x^6}\). Hệ số của \({x^6}\) là \(C_{12}^6{.2^6}\).

b) Số hạng chứa \({x^9}\) là \(C_{18}^9.{\left( {3x} \right)^9}.{( - 2)^9} = C_{18}^9.{( - 2)^9}{3^9}{x^9} =  - C_{18}^9{.2^9}{3^9}{x^9}\). Hệ số của \({x^9}\) là \( - C_{18}^9{.2^9}{3^9} =  - C_{18}^9{.6^9}\).