Câu 32 trang 117 SGK Hình học 11 Nâng cao

LG a

Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ACD’)

Giải chi tiết:

a. Xét tứ diện DACD’ có DA, DC, DD’ đôi một vuông góc nên khoảng cách DH từ D đến mặt phẳng (ACD’) được tính bởi hệ thức :

${1 \over {D{H^2}}} = {1 \over {D{A^2}}} + {1 \over {D{C^2}}} + {1 \over {DD{'^2}}}$ 

Ta có: DC = a. DD’ = a

$AC{'^2} = A{C^2} + CC{'^2} = D{A^2} + D{C^2} + CC{'^2}$

Hay $4{a^2} = D{A^2} + {a^2} + {a^2},$tức là $D{A^2} = 2{a^2}$

Vậy ${1 \over {D{H^2}}} = {1 \over {2{a^2}}} + {1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{a^2}}} = {5 \over {2{a^2}}}$

Do đó : $DH = {{a\sqrt {10} } \over 5}$

LG b

Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng AC’ và CD’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ấy.

Giải chi tiết:

Vì CD = DD’ = a nên CD’ ⊥ C’D. Mặt khác AD ⊥ (CDD’C’) nên CD’ ⊥ AC’ và CD’ ⊥ mp(AC’D). Gọi giao điểm của CD’ với mp(AC’D) là I. Trong mp(AC’D) kẻ IJ vuông góc với AC’ tại J thì IJ là đường vuông góc chung của AC’ và CD’.

Ta tính khoảng cách giữa AC’ và CD’

Ta có: ΔC’JI đồng dạng ΔC’DA nên ${{IJ} \over {AD}} = {{IC'} \over {AC'}}$

Suy ra : $IJ = AD.{{C'D} \over {2AC'}}$

Mặt khác $C'D = a\sqrt 2$ nên $IJ = a\sqrt 2 .{{a\sqrt 2 } \over {2.2a}} = {a \over 2}$  

HocTot.XYZ