Câu 8 trang 135 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho một tam giác đều ABC cạnh a.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A1B1C1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A2B2C2 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A1B1C1,…, tam giác An+1Bn+1Cn+1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác AnBnCn, … . Gọi p1, p2, ..., pn, … và S1, S2, …, Sn, … theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác

LG a

Tìm giới hạn của các dãy số (pn) và (Sn).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

p1=a2+a2+a2=3a2;

p2=a4+a4+a4=3a4=3a22

...

pn=3a2n (1)

Chứng minh bằng qui nạp:

+) Với n=1 thì p1=3a2 (đúng).

+) Giả sử (1) đúng với n=k, tức là pk=3a2k. Ta chứng minh (1) đúng với n=k+1.

Tam giác Ak+1Bk+1Ck+1 đồng dạng tam giác AkBkCk theo tỉ số 12 nên có chu vi pk+1=12pk=12.3a2k=3a2k+1

Do đó ta có pn=3a2n.

lim12n=lim(12)n=0 nên limpn=0

Diện tích tam giác ABC là S=a234. Diện tích tam giác A1B1C1là  S1=S4

Bằng phương pháp qui nạp, ta chứng minh được rằng diện tích tam giác AnBnCnSn=a234.(14)n

Vì  lim(14)n=0 nên limSn=0.

LG b

Tìm các tổng

p1+p2+...+pn+...S1+S2+...+Sn+...

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn S=u11q

Lời giải chi tiết:

Ta có (pn) là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q=12, do đó :

p1+p2+...+pn+...=p1112 =2p1=2.3a2=3a

(Sn) là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q=14 do đó :

S1+S2+...+Sn+...=S1114 =43S1=S3=a2312

 HocTot.XYZ

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.

close