Dãy số bị chặn là gì? Cách chứng minh, xét tính bị chặn của dãy số - Toán 11

a) Dãy số bị chặn trên

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho \({u_n} \le M\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Nói cách khác, nếu tất cả các số hạng của dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) luôn nhỏ hơn hoặc bằng một số thực thì dãy số đó bị chặn trên.

b) Dãy số bị chặn dưới

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho \({u_n} \ge m\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Nói cách khác, nếu tất cả các số hạng của dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) luôn lớn hơn hoặc bằng một số thực thì dãy số đó bị chặn dưới.

c) Dãy số bị chặn

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới.

Nghĩa là tồn tại các số M và m sao cho:

Sử dụng định nghĩa.

- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho \({u_n} \le M\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho \({u_n} \ge m\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới: \(m \le {u_n} \le M\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Ví dụ minh hoạ:

Xét tính bị chặn của các dãy số:

a) \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = \frac{1}{{{2^n}}}\);

b) \(\left( {{v_n}} \right)\) với \({v_n} = \frac{{n - 1}}{n}\)

Giải:

a) \({u_n} = \frac{1}{{{2^n}}} \le \frac{1}{2}\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn trên.

\({u_n} = \frac{1}{{{2^n}}} > 0\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) bị chặn dưới.

Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.

b) \({v_n} = \frac{{n - 1}}{n} = 1 - \frac{1}{n} < 0\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Vậy \(\left( {{v_n}} \right)\) bị chặn trên.

\({v_n} = \frac{{n - 1}}{n} \ge 0\) nên \(\left( {{v_n}} \right)\) bị chặn dưới.

Vậy \(\left( {{v_n}} \right)\) là dãy số bị chặn.