Đề số 7 - Đề kiểm tra học kì 2 (Đề thi học kì 2) - Toán 10

Đề bài

PHẦN 1 – TRẮC NGHIỆM (6 điểm)

Câu 1: (VD) Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right) = \frac{x}{2} + \frac{2}{{x - 1}}$ với $x\; > \;1$ là:

A. $2\sqrt 2$

B. $\;2$        

C. $\frac{5}{2}$  

D. 4

Câu 2: (VD) Số nghiệm nguyên của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 > 3x - 2\\ - x - 3 < 0\end{array} \right.$ là: 

A. $9$                                   B. $7$

C. $5$                                   D. vô số

Câu 3: (VD) Khoảng cách từ điểm $M\left( {0;1} \right)$ đến đường thẳng $\Delta :5x - 12y - 1 = 0$ là:

A.  $\sqrt {13}$                             B. $1$

C. $3$                                   D. $\frac{{11}}{{13}}$ 

Câu 4: (NB) Biết $A,B,C$ là các góc của tam giác $ABC$, mệnh đề nào sau đây đúng:

A. $\cos \left( {A + C} \right) = \cos B$

B. $\tan \left( {A + C} \right) =  - \tan B$

C. $\cot \left( {A + C} \right) = \cot B$         

D. $\sin \left( {A + C} \right) =  - \sin B$

Câu 5: (VDC) Cho ba điểm $A\left( { - 6;3} \right)$, $B\left( {0; - 1} \right)$, $C\left( {3;2} \right)$. $M(a;b)$là điểm nằm trên đường thẳng $d  :2x - y + 3 = 0$ sao cho $\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|$ nhỏ nhất. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $5(a + b) = 28$

B. $5(a + b) =  - 28$

C. $5(a + b) = 2$

D. $5(a + b) =  - 2$

Câu 6: (TH) Thống kê điểm kiểm tra 15’ môn Toán của một lớp 10 trường THPT M.V. Lômônôxốp được ghi lại như sau:

Số trung vị của mẫu số liệu trên là:

A. 8                             B. 6

C. 7                             D. 9

Câu 7: (VD) Tìm côsin góc giữa $2$ đường thẳng ${\Delta _1}:x + 2y - 7 = 0$ và ${\Delta _2}:2x - 4y + 9 = 0.$

A. $\frac{2}{{\sqrt 5 }}$                        B. $- \frac{3}{5}$

C. $- \frac{2}{{\sqrt 5 }}$                    D. $\frac{3}{5}$

Câu 8: (TH) Cho elip $\frac{{{x^2}}}{5} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1$, khẳng định nào sau đây sai ?

A. Tiêu cự của elip bằng $2$

B. Tâm sai của elip là $e = \frac{1}{5}$

C. Độ dài trục lớn bằng $2\sqrt 5$

D. Độ dài trục bé bằng $4$

Câu 9: (TH) Đường tròn tâm $I(3; - 1)$ và bán kính $R = 2$ có phương trình là:

A. ${(x + 3)^2} + {(y - 1)^2} = 4$

B. ${(x - 3)^2} + {(y + 1)^2} = 2$      

C. ${(x - 3)^2} + {(y + 1)^2} = 4$

D. ${(x + 3)^2} + {(y - 1)^2} = 2$

Câu 10: (VD) Cho hai điểm $A(1;2),B( - 3;1)$, đường tròn (C) có tâm nằm trên trục Oy và đi qua hai điểm A, B có bán kính bằng:

A. $\sqrt {17}$

B. $\frac{{\sqrt {85} }}{2}$

C. $\frac{{85}}{4}$       

D. $17$

Câu 11: (VD) Cho đường tròn $(C):\,\,{(x - 2)^2} + {(y + 3)^2} = 25.$ Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $B\left( { - 1;1} \right)$ là:

A. $x - 2y - 3 = 0$

B. $3x - 4y - 7 = 0$

C. $x - 2y + 3 = 0$

D. $3x-4y + 7 = 0$

Câu 12: (VD) Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( {3; - 1} \right)$ và $B\left( { - 6;2} \right)$là:

A. $x + 3y = 0$

B. $x + 3y - 6 = 0$

C. $3x - y = 0$      

D. $3x - y - 10 = 0$

Câu 13: (VD) Phương trình tham số của đường thẳng qua $M\left( {-2;3} \right)$ và song song với đường thẳng $\frac{{x - 7}}{{ - 1}} = \frac{{y + 5}}{5}$ là:

A. $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 - t\\y = 3 + 5t\end{array} \right.$

B. $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 - 2t\\y = 5 + 3t\end{array} \right.$

C. $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - t\\y = 2 + 5t\end{array} \right.$      

D. $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 5t\\y = 2 - t\end{array} \right.$

Câu 14: (TH) Miền nghiệm của bất phương trình $5\left( {x + 2} \right) - 9 < 2x - 2y + 7$ không chứa điểm nào trong các điểm sau?

A. $\left( {2;3} \right)$

B. $\left( { - 2;1} \right)$

C. $\left( {2; - 1} \right)$

D. $\left( {0;0} \right)$

Câu 15: (VD) Tập nghiệm của bất phương trình $\frac{{x - 1}}{{x - 3}} > 1$ là:

A. $\emptyset$

B. $\mathbb{R}$

C. $\left( {3; + \infty } \right)$

D. $\left( { - \infty ;5} \right)$

Câu 16: (TH) Giá trị của $x$ thỏa mãn bất phương trình $1 - \sqrt {13 + 3{x^2}}  > 2x$ là:

A. $x = \frac{3}{2}$

B. $x =  - \frac{3}{2}$

C. $x = \frac{7}{2}$

D. $x =  - \frac{7}{2}$

Câu 17: (VD) Cho ba số $a,b,c$dương. Mệnh đề nào sau đây sai ?

A. $\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + {c^2}}} \ge \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)$

B. $(1 + 2b)(2b + 3a)(3a + 1) \ge 48ab$                    

C. $(1 + 2a)(2a + 3b)(3b + 1) \ge 48ab$

D. $\left( {\frac{a}{b} + 1} \right)\left( {\frac{b}{c} + 1} \right)\left( {\frac{c}{a} + 1} \right) \ge 8$

Câu 18: (VD) Giải bất phương trình$\left| {2x + 5} \right| \le {x^2} + 2x + 4$ được các giá trị $x$ thỏa mãn:

A. $x \le  - 1$ hoặc $x \ge 1$

B. $- 1 \le x \le 1$

C. $x \le 1$

D. $x \ge 1$

Câu 19: (TH) Điều tra về số tiền mua đồ dùng học tập trong một tháng của 40 học sinh, ta có mẫu số liệu như sau (đơn vị: nghìn đồng):

Số trung bình của mẫu số liệu là:

A. 22,5                        B. 25

C. 25,5                        D. 27

Câu 20: (VD) Bất phương trình $\frac{{x - 1}}{{{x^2} + 4x + 3}} \le 0$ có tập nghiệm là:

A. $\left[ { - 3; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)$

B. $\left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( { - 1;1} \right]$

C. $\left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ { - 1;1} \right]$

D. $\left( { - 3; - 1} \right) \cup \left[ {1; + \infty } \right)$

Câu 21: (VD) Cho $\tan \alpha  = 3.$ Giá trị của biểu thức $A = \frac{{3\sin \alpha  + \cos \alpha }}{{\sin \alpha  - \cos \alpha }}$ là:

A. $\frac{7}{3}$                           B. $\frac{5}{3}$                           C. $7$                                   D. $5$

Câu 22: (VD) Tam thức $f(x) = {x^2} - 12x - 13$ nhận giá trị âm khi và chỉ khi:

A. $-1 < x < 13$  

B.$-13 < x < 1$

C. $x < -1$  hoặc $x > 13$

D. $x < -13$ hoặc $x > 1$

Câu 23: (TH) Cặp bất phương trình nào sau đây không tương đương?

A. $\sqrt {x - 1}  \ge x$ và $\left( {2x + 1} \right)\sqrt {x - 1}  \ge x\left( {2x + 1} \right)$.

B. $2x - 1 + \frac{1}{{x - 3}} < \frac{1}{{x - 3}}$và $2x - 1 < 0$.

C. ${x^2}\left( {x + 2} \right) < 0$và $x + 2 < 0$. 

D. ${x^2}\left( {x + 2} \right) > 0$ và $\left( {x + 2} \right) > 0$

Câu 24: (NB) Cho đường thẳng $\left( d \right)$ có phương trình tổng quát: $3x - 2y + 2019 = 0$. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. $\left( d \right)$có vectơ pháp tuyến là  $\overrightarrow n  = \left( {3; - 2} \right)$

B. $\left( d \right)$có vectơ chỉ phương  $\overrightarrow u  = \left( {2;3} \right)$

C. $\left( d \right)$song song với đường thẳng $\frac{{x + 5}}{2} = \frac{{y - 1}}{3}$

D. $\left( d \right)$có hệ số góc $k =  - 2$

PHẦN 2 – TỰ LUẬN  (4 điểm) Học sinh làm bài ra giấy kiểm tra.

Bài 1 (VD): (1,0 điểm) Giải bất phương trình: $\frac{{3{x^2} - 8x - 3}}{{2x - 1}} \ge 0$.

Bài 2 (VD): (1,0 điểm) Tìm m để bất phương trình $3{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + m + 5 > 0$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$.

Bài 3 (VD): (0,5 điểm) Cho $\tan \alpha  =  - \sqrt 5 \,\,\,\,\left( {\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi } \right)$, Tính $\cos \alpha$ và $\sin 2\alpha$.

Bài 4 (VD): (1,5 điểm) Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm$A\left( {-1;2} \right)$ và đường thẳng $\Delta :x + 3y + 5 = 0$.

a) (0,5 điểm) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với $\Delta$.

b) (0,5 điểm) Viết phương trình đường tròn tâm $A\left( {-1;2} \right)$ và tiếp xúc với $\Delta$.

c) (0,5 điểm) Tìm điểm M trên đường thẳng $\Delta$ sao cho tam giác OAM có diện tích bằng 4 (đvdt).

Lời giải chi tiết

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1:

Phương pháp: 

Biến đổi hàm số để sử dụng BĐT Cô-si làm mất x

Cách giải:

Ta có : $f\left( x \right) = \frac{x}{2} + \frac{2}{{x - 1}}$$= \frac{{x - 1}}{2} + \frac{2}{{x - 1}} + \frac{1}{2}$

Có: $x > 1 \Rightarrow x - 1 > 0$. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm $\frac{{x - 1}}{2}$ và $\frac{2}{{x - 1}}$ ta được:

$\begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{2} + \frac{2}{{x - 1}}\\ \ge 2.\sqrt {\frac{{x - 1}}{2}.\frac{2}{{x - 1}}}  = 2\\ \Rightarrow f\left( x \right) \ge 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\end{array}$

Chọn C.

Câu 2:

Phương pháp:

Giải hệ BPT, đếm số nghiệm nguyên.

Cách giải:

$\left\{ \begin{array}{l}2x + 1 > 3x - 2\\ - x - 3 < 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 3\\x >  - 3\end{array} \right.$ $\Rightarrow  - 3 < x < 3$

Lại có $x \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \left\{ { - 2;\,\, - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2} \right\}.$

Vậy có 5 nghiệm nguyên của hệ BPT

Chọn C.

Câu 3:

Phương pháp:

Cho đường thẳng $\Delta :ax + by + c = 0$ và điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ 

$\Rightarrow d\left( {{M_0};\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

Cách giải:

$d\left( {M;\Delta } \right) = \frac{{\left| {5.0 - 12.1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{12}^2}} }} = \frac{{13}}{{13}} = 1$

Chọn B.

Câu 4:

Phương pháp:

Cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi tan.

Cách giải:

Ta có $\Delta ABC$ $\Rightarrow A + B + C = {180^o}$

 $\begin{array}{l} \Rightarrow \tan \left( {A + C} \right)\\ =  - \tan \left( {{{180}^0} - A - C} \right)\\ =  - \tan B\end{array}$

Vậy B đúng

Chọn B.

Câu 5:

Phương pháp:

Biến đổi hệ BPT và biện luận.

Cách giải:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC $\Rightarrow G\left( { - 1;\frac{4}{3}} \right)$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {3\overrightarrow {MG} } \right|$$= 3MG$

Để $\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow MG$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow$ M là hình chiếu của G trên d

Gọi $d'$ là đường thẳng qua G vuông góc với d $\Rightarrow d \cap d' = \left\{ M \right\}$

d nhận $\overrightarrow n  = \left( {2; - 1} \right)$ là VTPT $\Rightarrow \overrightarrow {n'}  = \left( {1;2} \right)$ là VTPT của $d'$

$\Rightarrow$ Phương trình $d':\left( {x + 1} \right) + 2\left( {y - \frac{4}{3}} \right) = 0$ $\Leftrightarrow x + 2y - \frac{5}{3} = 0$

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ : $\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 3 = 0\\x + 2y - \frac{5}{3} = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{{13}}{{15}} = a\\y = \frac{{19}}{{15}} = b\end{array} \right.$

$\Rightarrow 5\left( {a + b} \right) = 5\left( { - \frac{{13}}{{15}} + \frac{{19}}{{15}}} \right) = 2$ 

Chọn C.

Câu 6:

Phương pháp:

Sắp xếp các số liệu thống kê thành dãy không tăng hoặc không giảm. Số trung vị ${M_e}$ là số đứng giữa dãy nếu số phần tử là lẻ và là trung bình cộng của hai số đứng giữa nếu dãy số phần tử là chẵn.

Cách giải:

Có 7 phần tử là điểm cuả các em học sinh nên ${M_e} = {x_4} = 6.$

Chọn B.

Câu 7:

Phương pháp:

$\cos \left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = \cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}$  trong đó $\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}}$ lần lượt là VTPT hoặc VTCP của ${\Delta _1};{\Delta _2}$

Cách giải:

Ta có: $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;2} \right)$ là VTPT của ${\Delta _1}$ ; $\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2; - 4} \right)$ là VTPT của ${\Delta _2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \cos \left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right)\\ = \cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ;\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\\ = \frac{{\left| {1.2 - 2.4} \right|}}{{\sqrt {1 + 4}  + \sqrt {4 + 16} }}\\ = \frac{6}{{\sqrt 5 .2\sqrt 5 }} = \frac{3}{5}\end{array}$

Chọn D.

Câu 8:

Phương pháp:

Phương trình chính tắc của Elip có dạng: $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ với ${a^2} - {b^2} = {c^2}$

Trong đó: trục lớn ${A_1}{A_2} = 2a$; trục nhỏ ${B_1}{B_2} = 2b$; tiêu cự ${F_1}{F_2} = 2c$  ; tân sai $e = \frac{c}{a}$

Cách giải:

Elip $\frac{{{x^2}}}{5} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1$ có tâm sai:

$e = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{a}$ $= \frac{{\sqrt {5 - 4} }}{{\sqrt 5 }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}$

Vậy B sai

Chọn B.

Câu 9:

Phương pháp:

Đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = c$ có tâm $I\left( {a;b} \right)$, bán kính $R = \sqrt c$

Cách giải:

Đường tròn tâm $I(3; - 1)$ và bán kính $R = 2$ có phương trình là: ${(x - 3)^2} + {(y + 1)^2} = 4$

Chọn C.

Câu 10:

Phương pháp:

Đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = c$ có tâm $I\left( {a;b} \right)$, bán kính $R = \sqrt c$

Cách giải:

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm nằm trên trục Oy$\Rightarrow I\left( {0;\,\,b} \right)$ là tâm của đường tròn.

$\Rightarrow \left( C \right)$ có phương trình dạng: ${x^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = c$

Vì $A,B \in \left( C \right)$ ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l}1 + {\left( {2 - b} \right)^2} = c\\9 + {\left( {1 - b} \right)^2} = c\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + {\left( {2 - b} \right)^2} = c\\9 + {\left( {1 - b} \right)^2} = 1 + {\left( {2 - b} \right)^2}\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + {\left( {2 - b} \right)^2} = c\\\left( {1 - b - 2 + b} \right)\left( {1 - b + 2 - b} \right) + 8 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + {\left( {2 - b} \right)^2} = c\\ - 3 + 2b + 8 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = \frac{{85}}{4}\\b =  - \frac{5}{2}\end{array} \right.\\ \Rightarrow R = \sqrt c  = \frac{{\sqrt {85} }}{2}.\end{array}$  

Chọn B.

Câu 11:

Phương pháp:

Đường thẳng $\Delta$ tiếp xúc với đường tròn $\left( {O,R} \right)$ tại $A \in \left( {O,R} \right) \Leftrightarrow OA \bot \Delta$ tại A

Cách giải:

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {2; - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {IB}  = \left( { - 3;4} \right)$ 

d  là tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại B $\Rightarrow IB \bot d \Rightarrow \overrightarrow {IB}$ là 1 VTPT của d

$\Rightarrow$  Phương trình d: $- 3\left( {x + 1} \right) + 4\left( {y - 1} \right) = 0$ $\Leftrightarrow 3x - 4y + 7 = 0$

Chọn D.

Câu 12:

Phương pháp:

Đường thẳng $d$ đi qua $A\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)$ và có VTPT $\overrightarrow n  = \left( {a;\,\,b} \right)$ có phương trình tổng quát: $a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0.$

Cách giải:

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 9;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {3;9} \right)$  là VTPT của đường thẳng AB

$\Rightarrow AB:3\left( {x - 3} \right) + 9\left( {y + 1} \right) = 0$  $\Leftrightarrow 3x + 9y = 0$ $\Leftrightarrow x + 3y = 0$

Chọn A.

Câu 13:

Phương pháp:

Đường thẳng $d$ đi qua $A\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow u  = \left( {a;\,\,b} \right)$ có phương trình tham số: $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\end{array} \right..$

Cách giải:

Ta có đường thẳng $\frac{{x - 7}}{{ - 1}} = \frac{{y + 5}}{5}$ có VTCP là  $\overrightarrow u  = \left( { - 1;5} \right)$

Đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng trên nên nhận $\overrightarrow u  = \left( { - 1;5} \right)$ là VTCP.

Phương trình tham số của đường thẳng qua $M\left( {--2;3} \right)$ và song song với đường thẳng $\frac{{x - 7}}{{ - 1}} = \frac{{y + 5}}{5}$ là:

$\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 - t\\y = 3 + 5t\end{array} \right.$

Chọn A.

Câu 14:

Phương pháp:

Rút gọn và thay tọa độ các điểm để kiểm chứng

Cách giải:

$\begin{array}{l}5\left( {x + 2} \right) - 9 < 2x - 2y + 7\\ \Leftrightarrow 5x + 10 - 9 < 2x - 2y + 7\\ \Leftrightarrow 3x + 2y - 6 < 0\end{array}$

Ta có: $3.2 + 2.3 - 6 = 6 > 0$ nên điểm $\left( {2;3} \right)$ không thuộc miền nghiệm của BPT trên

Chọn A.

Câu 15:

Phương pháp:

Giải bất phương trình.

 Cách giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{{x - 3}} > 1\\ \Leftrightarrow \frac{{x - 1 - x + 3}}{{x - 3}} > 0\\ \Leftrightarrow \frac{2}{{x - 3}} > 0\\ \Leftrightarrow x - 3 > 0\\ \Leftrightarrow x > 3\end{array}$

Vậy tập nghiệm của BPT là $\left( {3; + \infty } \right)$

Chọn C.

Câu 16:

Phương pháp:

Thay giá trị của x vào BPT để kiểm chứng

Cách giải:

Ta có: $1 - \sqrt {13 + 3.{{\left( { - \frac{7}{2}} \right)}^2}}$ $\approx  - 6,05 > 2.\left( { - \frac{7}{2}} \right) =  - 7$

Vậy $x =  - \frac{7}{2}$ thỏa mãn bất phương trình $1 - \sqrt {13 + 3{x^2}}  > 2x$

Chọn D.

Chú ý khi giải: HS có thể giải bất phương trình bằng cách đặt điều kiện sau đó bình phương hai vế.

$\begin{array}{l}1 - \sqrt {13 + 3{x^2}}  > 2x\\ \Leftrightarrow 1 - 2x > \sqrt {13 + 3{x^2}} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 2x > 0\\1 - 4x + 4{x^2} > 13 + 3{x^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < \frac{1}{2}\\{x^2} - 4x - 12 > 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < \frac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x > 6\\x <  - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x <  - 2\\ \Rightarrow x =  - \frac{7}{2}\,\,\left( {tm} \right)\end{array}$

Câu 17:

Phương pháp:

Thay giá trị a,b,c bất kỳ để kiểm chứng

Cách giải:

Thay $a = 1;b = 2;c = 3$ vào BPT

$\frac{1}{{1 + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + {b^2}}} + \frac{1}{{1 + {c^2}}}$$\ge \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)$

$\Rightarrow \frac{4}{5} \ge \frac{{11}}{{12}}$ vô lý

Vậy A sai.

Chọn A.

Câu 18:

Phương pháp:

$\left| {f\left( x \right)} \right| \le g\left( x \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\ - g\left( x \right) \le f\left( x \right) \le g\left( x \right)\end{array} \right.$

Cách giải:

$\begin{array}{l}\left| {2x + 5} \right| \le {x^2} + 2x + 4\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x^2} - 2x - 4 \le 2x + 5\\2x + 5 \le {x^2} + 2x + 4\end{array} \right.\\\left( {{x^2} + 2x + 4 = {{\left( {x + 1} \right)}^2} + 3 > 0,\forall x} \right)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4x + 9 \ge 0\\{x^2} - 1 \ge 0\end{array} \right.\,\\\left( {do\,{x^2} + 4x + 9 = {{\left( {x + 2} \right)}^2} + 5 > 0,\forall x} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - 1 \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \ge 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 1\\x \le  - 1\end{array} \right.\end{array}$       

Chọn A.

Câu 19:

Phương pháp:

Tìm giá trị đại diện của từng lớp và tính số trung bình

Cách giải:

Chọn B.

Câu 20:

Phương pháp:

Lập bảng xét dấu giải BPT.

Cách giải:

$\begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{{{x^2} + 4x + 3}} \le 0\\ \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} \le 0\end{array}$

ĐKXĐ: ${x^2} + 4x + 3 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  - 1\\x \ne  - 3\end{array} \right.$

Đặt $f\left( x \right) = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 4x + 3}}$ . Ta có bảng:

Vậy $f\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( { - 1;1} \right]$

Chọn B.

Câu 21:

Phương pháp:

Chia cả tử và mẫu của P cho $\cos x \ne 0$

Cách giải:

Ta có $\tan \alpha  = 3 \Rightarrow \cos x \ne 0$

Chia cả tử và mẫu của P cho $\cos x \ne 0$ ta được:

$\begin{array}{l}P = \frac{{3\sin \alpha  + \cos \alpha }}{{\sin \alpha  - \cos \alpha }}\\ = \frac{{\frac{{3\sin \alpha  + \cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\frac{{\sin \alpha  - \cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}\\ = \frac{{3\tan \alpha  + 1}}{{\tan \alpha  - 1}}\\ = \frac{{3.3 + 1}}{{3 - 1}} = \frac{{10}}{2} = 5\end{array}$

Chọn D.

Câu 22:

Phương pháp:

Giải bất phương trình $f\left( x \right) < 0.$

Cách giải:

$\begin{array}{l}f(x) = {x^2} - 12x - 13 < 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 13} \right) < 0\\ \Leftrightarrow  - 1 < x < 13\end{array}$

Chọn A.

Câu 23:

Phương pháp:

Lưu ý cách biến đổi BPT.

Cách giải:

Ta có: ${x^2}\left( {x + 2} \right) > 0$ và $\left( {x + 2} \right) > 0$ không tương đương vì $x = 0$ ta có $x + 2 > 0$ nhưng ${x^2}\left( {x + 2} \right) = 0$ 

Chọn D.

Câu 24:

Phương pháp:

Phương trình đường thẳng d có hệ số góc là k có dạng $y = kx + b$

Cách giải:

Đường thẳng $\left( d \right)$ có phương trình tổng quát: $3x - 2y + 2019 = 0$$\Leftrightarrow y = \frac{3}{2}x + \frac{{2019}}{2}$ có hệ số góc $k = \frac{3}{2}.$  

Chọn D.

II. TỰ LUẬN

Bài 1.

Phương pháp:

Lập bảng xét dấu giải BPT

Cách giải:                                  

Giải bất phương trình: $\frac{{3{x^2} - 8x - 3}}{{2x - 1}} \ge 0$.

ĐKXĐ : $2x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{1}{2}$

Đặt $f\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 8x - 3}}{{2x - 1}} = \frac{{\left( {3x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{2x - 1}}$ . Ta có bảng:

Vậy $f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left[ { - \frac{1}{3};\frac{1}{2}} \right) \cup \left[ {3; + \infty } \right)$

Bài 2.

Phương pháp:

Cho tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$ có biệt thức $\Delta  = {b^2} - 4ac$

-  Nếu $\Delta  < 0$ thì với mọi $x,f\left( x \right)$ có cùng dấu với hệ số a.

-  Nếu $\Delta  = 0$thì $f\left( x \right)$ có nghiệm kép $x =  - \frac{b}{{2a}}$, với mọi $x \ne  - \frac{b}{{2a}},\,\,f\left( x \right)$ có cùng dấu với hệ số a.

- Nếu $\Delta  > 0$,$f\left( x \right)$có 2 nghiệm ${x_1},{x_2}\,\,\left( {{x_1} < {x_2}} \right)$ và luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ngoài khoảng $\left( {{x_1};\,\,{x_2}} \right)$ và luôn trái dấu với hệ số a với mọi x trong khoảng $\left( {{x_1};\,\,{x_2}} \right).$

Cách giải:

Tìm m để bất phương trình $3{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + m + 5 > 0$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$.

Để bất phương trình $3{x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + m + 5 > 0$ có tập nghiệm là $\mathbb{R}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - 3.\left( {m + 5} \right) < 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 5m - 14 < 0\\ \Leftrightarrow  - 2 < m < 7\end{array}$

Vậy với $- 2 < m < 7$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 3.

Phương pháp:

$\begin{array}{l}1 + {\tan ^2}x = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\{\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\\\sin 2x = 2\sin x\cos x\end{array}$

Cách giải:                                  

Cho $\tan \alpha  =  - \sqrt 5 \,\,\,\,\left( {\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi } \right)$. Tính $\cos \alpha$ và $\sin 2\alpha$.

Do  $\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi  \Rightarrow \cos \alpha  < 0$

Ta có:  $\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha  = 6$ $\Rightarrow \cos \alpha  = \frac{{ - \sqrt 6 }}{6}$

$\begin{array}{l}\sin \alpha  = \cos \alpha .\tan \alpha  = \frac{{\sqrt {30} }}{6}\\ \Rightarrow \sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha  =  - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\end{array}$

Bài 4.

Phương pháp:

a) Xác định VTPT và điểm đi qua.

b) Đường thẳng $\Delta$ tiếp xúc với đường tròn $\left( C \right)$ tâm I  bán kính R $\Leftrightarrow d\left( {I;\Delta } \right) = R$

c) Gọi tọa độ điểm $M\left( { - 3t - 5;t} \right) \in \Delta$. Tính OA. Từ giả thiết tính $d\left( {M;OA} \right)$ theo m. Lập phương trình tìm m từ đó suy ra tọa độ điểm M.

Cách giải:                                    

Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm$A\left( {--1;2} \right)$ và đường thẳng $\Delta :x + 3y + 5 = 0$.

a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với $\Delta$.

Vì $d \bot \Delta  \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}}  = \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {3; - 1} \right)$

Phương trình đường thẳng $d:3\left( {x + 1} \right) - \left( {y - 2} \right) = 0$ $\Leftrightarrow 3x - y + 5 = 0$

b) Viết phương trình đường tròn $\left( C \right)$ tâm $A\left( {--1;2} \right)$ và tiếp xúc với $\Delta$. 

Ta có: $\left( C \right)$ tiếp xúc với $\Delta$ nên $R = d\left( {A;\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 1 + 3.2 + 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \sqrt {10}$

Vậy phương trình đường tròn $\left( C \right)$: ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 10.$ 

c) Tìm điểm M trên đường thẳng $\Delta$ sao cho tam giác OAM có diện tích bằng 4 (đvdt).

Gọi tọa độ điểm $M\left( { - 3t - 5;t} \right) \in \Delta$

Ta có: $\overrightarrow {OA}  = \left( { - 1;2} \right) \Rightarrow OA = \sqrt 5 ;$ $\overrightarrow {{n_{OA}}}  = \left( {2;1} \right)$

Phương trình đường thẳng OA: $2x + y = 0$

Ta có: ${S_{OAM}} = \frac{1}{2}OA.d\left( {M;OA} \right) = 4$ $\Leftrightarrow d\left( {M;OA} \right) = \frac{8}{{\sqrt 5 }}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| {2\left( { - 3t - 5} \right) + t} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \frac{8}{{\sqrt 5 }}\\ \Leftrightarrow \left| { - 5t - 10} \right| = 8\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 5t - 10 = 8\\ - 5t - 10 =  - 8\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - \frac{{18}}{5}\\t =  - \frac{2}{5}\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $M\left( {\frac{{29}}{5}; - \frac{{18}}{5}} \right)$ hoặc  $M\left( { - \frac{{19}}{5}; - \frac{2}{5}} \right)$.

Nguồn: Sưu tầm

HocTot.XYZ