Phương pháp giải:

Mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ có bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}$

Lời giải chi tiết:

Bán kính mặt cầu là $R = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} - \left( { - 7} \right)}  = \sqrt 9  = 3$

Chọn A.

Phương pháp giải:

Phương trình mặt cầu có tâm $I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ , bán kính $R:\,\,{(x - {x_0})^2} + {(y - {y_0})^2} + {(z - {z_0})^2} = {R^2}$.

Lời giải chi tiết:

Do mặt cầu đi qua $A\left( {5; - 1;4} \right)$ nên bán kính mặt cầu là $R = IA = \sqrt {{4^2} + {2^2} + {2^2}}  = \sqrt {24}$

Phương trình mặt cầu đó là: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 24$.

Chọn: D

Phương pháp giải:

Hình cầu có bán kính $R$ thì có diện tích là $S = 4\pi {R^2}$

Mặt cầu có tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ và có bán kính $R$ thì có phương trình ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$

Lời giải chi tiết:

Diện tích mặt cầu $S = 4\pi {R^2} = 64\pi  \Rightarrow R = 4.$

Phương trình mặt cầu tâm $I\left( {1; - 4;2} \right)$ và bán kính $R = 4$ là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 16$.

Chọn D.

Phương pháp giải:

+) Cho $M\left( {a;b;c} \right) \Rightarrow d\left( {M;Oy} \right) = \sqrt {{a^2} + {c^2}}$.

+) Mặt cầu tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ bán kính $R$ có phương trình ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có $d\left( {I;Oy} \right) = \sqrt {{a^2} + {c^2}}$, suy ra mặt cầu tâm $I(a;b;c)$tiếp xúc với trục Oy có bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {c^2}}$.

Vậy phương trình mặt cầu là ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {a^2} + {c^2}$.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Chọn B

Phương pháp giải:

Phương trình mặt cầu có tâm $I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ , bán kính $R:\,\,{\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {\left( {y - {y_0}} \right)^2} + {\left( {z - {z_0}} \right)^2} = {R^2}$.

Lời giải chi tiết:

$(S):\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 6y + 8z - 7 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 36$

Tọa độ tâm và bán kính mặt cầu (S) lần lượt là $I\left( {2;3; - 4} \right);R = 6$.

Chọn: D

Phương pháp giải:

Phương trình mặt cầu tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ bán kính $R$ là ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$.

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu đường kính $AB$ có tâm $I\left( { - 1;3;0} \right)$ là trung điểm của $AB$, bán kính $R = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}\sqrt {{4^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \sqrt 6$.

Vậy phương trình mặt cầu đường kính $AB$ là: ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {z^2} = 6$.

Chọn D

Phương pháp giải:

${d^2} + {r^2} = {R^2}$

Trong đó, $d$: khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (P),

                $r$: bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P),

               $R$: bán kính hình cầu. 

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y - 2z - 6 = 0$ có tâm $I\left( {1; - 1;1} \right)$, bán kính $R = 3$

$\Rightarrow$Mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$ theo đường tròn có bán kính $r = R = 3$

$\Rightarrow$ $\left( P \right)$ đi qua tâm I của (S)

$\left( P \right)$ có 1 VTPT $\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {OI} ;\overrightarrow k } \right] = \left( { - 1; - 1;0} \right)$, với $\overrightarrow {OI}  = \left( {1; - 1;1} \right),\,\,\,\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)$

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ là: $- 1\left( {x - 0} \right) - 1\left( {y - 0} \right) + 0 = 0 \Leftrightarrow x + y = 0$.

Chọn: A

Phương pháp giải:

Mặt cầu đường kính $AB$ có tâm là trung điểm $AB$ và bán kính $R = \dfrac{{AB}}{2}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có : $A\left( {1;2;3} \right),B\left( { - 1;4;1} \right)$ $\Rightarrow I\left( {0;3;2} \right)$ là trung điểm $AB$ và $AB = \sqrt {12}  = 2\sqrt 3$.

Mặt cầu $\left( S \right)$ đường kính $AB$ có tâm $I\left( {0;3;2} \right)$ và bán kính $R = \dfrac{{AB}}{2} = \sqrt 3$

$\Rightarrow \left( S \right):{\left( {x - 0} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 3$ hay $\left( S \right):{x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 3$.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Phương trình mặt cầu ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ có tâm $I\left( {a;\,b;\,c} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} .$

Công thức tính diện tích mặt cầu bán kính $R:\,\,S = 4\pi {R^2}.$

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu đã cho có bán kính: $R = \sqrt {1 + {2^2} + {3^2} - 5}  = 3.$

$\Rightarrow S = 4\pi {R^2} = 4\pi .9 = 36\pi .$

Chọn  A.

Phương pháp giải:

Mặt cầu đường kính $AB$ có tâm $I$ là trung điểm của $AB$ và bán kính $R = \dfrac{{AB}}{2}$.

Lời giải chi tiết:

Có $A\left( {2;0;2} \right),\,\,B\left( {0;4;0} \right) \Rightarrow I\left( {1;2;1} \right)$ là trung điểm $AB$ và $AB = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = 2\sqrt 6$.

Khi đó mặt cầu đường kính $AB$ có tâm $I\left( {1;2;1} \right)$ và bán kính $R = \dfrac{{AB}}{2} = \sqrt 6$ có phương trình:

${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6$.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Chọn D.

Phương pháp giải:

Mặt cầu đường kính $AB$ tâm $I$ là trung điểm $AB$ và có bán kính $R = \dfrac{{AB}}{2}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có : $A\left( {1;0;2} \right),B\left( { - 1;2; - 4} \right) \Rightarrow I\left( {0;1; - 1} \right)$ là trung điểm $AB$ và $AB = 2\sqrt {11}$.

Mặt cầu đường kính $AB$ có tâm $I\left( {0;1; - 1} \right)$ và bán kính $R = \dfrac{{AB}}{2} = \sqrt {11}$ nên có phương trình:

${\left( {x - 0} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 11$ hay ${x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 11$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Phương trình mặt cầu ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ với ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0$ có tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}$

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 6y + 4z - 2 = 0$ suy ra tâm $I\left( {1;3; - 2} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{1^2} + {3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} - \left( { - 2} \right)}  = 4.$

Chọn C

Phương pháp giải:

Mặt cầu đường kính $AB$ có tâm là trung điểm $AB$ và có bán kính $R = \dfrac{{AB}}{2}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có : $A\left( {2;2; - 1} \right),B\left( { - 4;2; - 9} \right)$$\Rightarrow I\left( { - 1;2; - 5} \right)$ là trung điểm của $AB$ và $AB = \sqrt {{{\left( { - 4 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 9 + 1} \right)}^2}}  = 10$.

Mặt cầu đường kính $AB$ có tâm $I\left( { - 1;2; - 5} \right)$ và bán kính $R = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{10}}{2} = 5$ nên có phương trình ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 5} \right)^2} = {5^2} = 25$.

Chọn B

Phương pháp giải:

Điểm $A$ nằm trong khối cầu $\left( S \right)$ tâm $I$ bán kính $R$ khi $IA < R$.

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu $\left( S \right):$ ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2y + 4z - 9 = 0$ có tâm $I\left( {0;1; - 2} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{0^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} - \left( { - 9} \right)}  = \sqrt {14}$

Để $A$ nằm trong khối cầu thì $IA < R \Leftrightarrow I{A^2} < {R^2} \Leftrightarrow {1^2} + {\left( {a - 1} \right)^2} + {3^2} < 14$

$\Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} < 4 \Leftrightarrow  - 2 < a - 1 < 2 \Leftrightarrow  - 1 < a < 3.$

Chọn D.

Phương pháp giải:

Phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0$ là phương trình của mặt cầu $\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0$.

Lời giải chi tiết:

Phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2 = 0$ là phương trình của mặt cầu $\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 2 > 0$.

Chọn D

Phương pháp giải:

Mặt cầu $\left( {I;R} \right)$ tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right)$ nếu và chỉ nếu $d\left( {I,\left( P \right)} \right) = R.$

Lời giải chi tiết:

Gọi $J$ là hình chiếu của $I\left( {1; - 2; - 3} \right)$ lên $\left( {Oxz} \right)$ thì $J\left( {1;0; - 3} \right)$

 $\Rightarrow IJ = \sqrt {{0^2} + {2^2} + {0^2}}  = 2$.

$\left( S \right)$ tiếp xúc $\left( {Oxz} \right) \Leftrightarrow R = d\left( {I,\left( {Oxz} \right)} \right) = IJ = 2$ .

Vậy $\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = {2^2} = 4$.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Phương trình mặt cầu tâm $I\left( {a;\,b;\,c} \right)$ và bán kính $R:\,\,{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}.$

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu có tâm $I$ và đi qua $A \Rightarrow R = IA = \sqrt {{{\left( { - 3 + 3} \right)}^2} + {{\left( {0 - 4} \right)}^2}}  = 4.$

Phương trình mặt cầu tâm $I\left( { - 3;\,0;\,4} \right)$ và bán kính $R = 4$ là: ${\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 16.$

Chọn D.

Phương pháp giải:

Mặt cầu $\left( S \right):\,\,{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$ có tâm $I\left( {a;b;c} \right)$, bán kính $R$.

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} + {\left( {z + 6} \right)^2} = 9$ có tâm $I\left( { - 4;5; - 6} \right)$, bán kính $R = 3$.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Chọn C.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng $\left( Q \right)$ song song với mặt phẳng $\left( P \right):ax + by + cz + d = 0$ thì có phương trình $ax + by + cz + d' = 0\,\,\,\,\left( {d \ne d'} \right)$

Mặt phẳng $\left( Q \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I$ bán kính $R$ thì $d\left( {I;\left( Q \right)} \right) = R$

Từ đó tìm được $d' \Rightarrow$ ptmp $\left( Q \right).$

Lời giải chi tiết:

Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng cần tìm, khi đó $\left( Q \right)//\left( P \right) \Rightarrow$ mặt phẳng $\left( Q \right)$ có phương trình $2x - y + 2z + d = 0\,\left( {d \ne  - 11} \right)$

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( { - 1;2;3} \right);R = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {3^2} - 5}  = 3$

Mà mặt phẳng $\left( Q \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$ nên $d\left( {I;\left( Q \right)} \right) = 3 \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 2 - 2 + 2.3 + d} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = 3 \Leftrightarrow \frac{{\left| {2 + d} \right|}}{3} = 3$

$\Leftrightarrow \left| {2 + d} \right| = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 7\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\d =  - 11\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.$ 

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( Q \right):2x - y + 2z + 7 = 0$

Chọn C.

Phương pháp giải:

- Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến $\left( P \right)$, sử dụng công thức $d = \sqrt {{R^2} - {r^2}}$.

- Đối chiếu với các đáp án: Kiểm tra $d\left( {I,\left( P \right)} \right)$ bằng kết quả vừa tìm được ở trên và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {3; - 2;0} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{3^2} + 0 + {2^2} + 12}  = 5$.

Khoảng cách từ $I$ đến $\left( P \right)$ là $d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \sqrt {{R^2} - {r^2}}  = \sqrt {{5^2} - {3^2}}  = 4$ .

Đối chiếu các đáp án ta thấy:

Đáp án A: $d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {4.3 - 3.\left( { - 2} \right) - 0 - 4\sqrt 6 } \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} \ne 4$ nên loại A.

Đáp án B: $d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.3 + 2.\left( { - 2} \right) - 0 + 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{{14}}{3} \ne 4$ nên loại B.

Đáp án C: $d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {3.3 - 4.\left( { - 2} \right) + 5.0 - 17 + 20\sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {5^2}} }} = 4$ nên chọn C.

Chọn C.

Phương pháp giải:

Xác định tâm và bán kính mặt cầu ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$  với ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0$ có tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}$

Chu vi đường tròn bán kính $R$ là $C = 2\pi R$

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 2az + 10a = 0$ có:

+) Tâm $I\left( {2; - 1;a} \right)$

+) Bán kính $R = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {a^2} - 10a}  = \sqrt {{a^2} - 10a + 5} \,\,$với điều kiện ${a^2} - 10a + 5 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a > 5 + 2\sqrt 5 \\a < 5 - 2\sqrt 5 \end{array} \right.$ .

Đường tròn lớn của hình cầu có bán kính $R = \sqrt {{a^2} - 10a + 5}$  nên chu vi $C = 2\pi \sqrt {{a^2} - 10a + 5}$

Theo đề bài ta có:

$\begin{array}{l}C = 8\pi  \Leftrightarrow 2\pi \sqrt {{a^2} - 10a + 5}  = 8\pi  \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} - 10a + 5}  = 4\\ \Leftrightarrow {a^2} - 10a + 5 = 16 \Leftrightarrow {a^2} - 10a - 11 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 1\\a = 11\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}$

Vậy $a = \left\{ { - 1;11} \right\}$

Chọn C.

Phương pháp giải:

Mặt cầu đường kính $AB$ nhận trung điểm của $AB$ làm tâm và $R = \dfrac{{AB}}{2}$.

Lời giải chi tiết:

$AB = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 6$ suy ra bán kính $R = \sqrt 6$.

Trung điểm của $AB$ là $I\left( {3; - 1;4} \right)$.

Vậy phương trình mặt cầu là $\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {x - 4} \right)^2} = 6 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 2y - 8z + 20 = 0$.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ là phương trình mặt cầu khi ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0$

Lời giải chi tiết:

Phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2mx + 4y + 2mz + {m^2} + 5m = 0$ có $a = m;b =  - 2;c = m;d = {m^2} + 5m$

Phương trình trên là phương trình mặt cầu khi ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0$

$\Leftrightarrow {m^2} + 4 + {m^2} - \left( {{m^2} + 5m} \right) > 0$$\Leftrightarrow {m^2} - 5m + 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 4\\m < 1\end{array} \right.$. 

Chọn D.

Phương pháp giải:

+ Tâm mặt cầu là trung điểm đoạn $AB$

+ Bán kính mặt cầu là $R = \dfrac{{AB}}{2}$

+ Phương trình mặt cầu có tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ và bán kính $R$ là ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$

Lời giải chi tiết:

+ Tâm mặt cầu là trung điểm $I$ của đoạn $AB$, suy ra $I\left( {4;1;0} \right)$

+ Lại có $AB = \sqrt {{{\left( {5 - 3} \right)}^2} + {{\left( {3 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 2} \right)}^2}}  = \sqrt {36}  = 6$ nên bán kính mặt cầu là $R = \dfrac{{AB}}{2} = 3$.

+ Phương trình mặt cầu có tâm $I\left( {4;1;0} \right)$ và bán kính $R = 3$ là ${\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 9$

Chọn D.

Phương pháp giải:

+ Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right)$ thì có bán kính $R = d\left( {I;\left( P \right)} \right)$  và phương trình mặt cầu là ${\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {\left( {y - {y_0}} \right)^2} + {\left( {z - {z_0}} \right)^2} = {R^2}$

+ Mặt phẳng đi qua ba điểm $A,B,C$ có 1 VTPT là $\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]$

Lời giải chi tiết:

+ Ta có $\overrightarrow {BC}  = \left( { - 3;0;1} \right);\overrightarrow {BD}  = \left( { - 4; - 1;2} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {1;2;3} \right)$

+ Mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ đi qua $B\left( {3;2;0} \right)$ và có 1 VTPT là $\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BD} } \right] = \left( {1;2;3} \right)$ nên phương trình mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ là $1\left( {x - 3} \right) + 2\left( {y - 2} \right) + 3\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y + 3z - 7 = 0$

+ Vì mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $A$ tiếp xúc với mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ nên bán kính mặt cầu là

$R = d\left( {A;\left( {BCD} \right)} \right) = \frac{{\left| {3 + 2.\left( { - 2} \right) + 3.\left( { - 2} \right) - 7} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} }} = \sqrt {14}$

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là ${\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 14$

Chọn  B.

Phương pháp giải:

Phương trình của mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R là: ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$.

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu có đường kính AB có tâm $I\left( {0;0;1} \right)$ là trung điểm của AB và bán kính $R = IA = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}}  = \sqrt 6$, có phương trình là: ${x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6$.

Chọn: B

Phương pháp giải:

Phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ là phương trình mặt cầu $\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0.$

Lời giải chi tiết:

Xét từng đáp án ta được:

+) Đáp án A:  có: $a =  - \frac{1}{2};\,\,b = 1;\,\,c =  - 2,\,\,d =  - 3 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d = \frac{{33}}{4} > 0$ $\Rightarrow$ phương trình này là phương trình mặt cầu.

+) Đáp án B: $2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - x - y - z = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}y - \frac{1}{2}z = 0$ có: $a = \frac{1}{4};\,\,b = \frac{1}{4};\,\,c = \frac{1}{4},\,\,d = 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d = \frac{3}{{16}} > 0$ $\Rightarrow$ phương trình này là phương trình mặt cầu.

+) Đáp án C:  có: $a = 1;\,\,b =  - 2;\,\,c = 2,\,\,d = 10 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d =  - 1 < 0$  phương trình này không là phương trình mặt cầu.

Chọn  C.

Phương pháp giải:

Sử dụng mối quan hệ ${d^2} + {r^2} = {R^2}$.

Trong đó, $d$: khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (P),

                  $r$: bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P),

           $R$: bán kính hình cầu. 

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 4$ có tâm $I\left( {1;1; - 2} \right)$, bán kính $R = 2$

 $d = d\left( {I;\left( \alpha  \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.1 + 1 - \left( { - 2} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \dfrac{4}{{\sqrt 6 }} = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}$

Ta có: ${d^2} + {r^2} = {R^2} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right)^2} + {r^2} = {2^2} \Leftrightarrow {r^2} = \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow r = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}$.

Bán kính r của đường tròn là giao tuyến của $\left( \alpha  \right)$ và mặt cầu $\left( S \right)$ là $r = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}$.

Chọn: A

Phương pháp giải:

Phương trình đường tròn có tâm $I({x_0};{y_0};{z_0})$, bán kính $R$ :  ${(x - {x_0})^2} + {(y - {y_0})^2} + {(z - {z_0})^2} = {R^2}$.

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu đường kính AB có tâm $I\left( { - 2;0;2} \right)$ và bán kính $R = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{\sqrt {{6^2} + {6^2} + {6^2}} }}{2} = 3\sqrt 3$, có phương trình là: 

${\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 27$.

Chọn: A

Phương pháp giải:

Phương trình mặt cầu tâm $I\left( {a;\,b;\,c} \right)$ và bán kính $R:\,\,{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}.$

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu tâm $I$ đi qua $A \Rightarrow IA = R \Leftrightarrow R = \sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 3} \right)}^2} + {{\left( {3 - 4} \right)}^2}}  = \sqrt 3 .$

$\Rightarrow \left( S \right):\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 4} \right)^2} = 3.$

Chọn D.

Phương pháp giải:

Tính $R = d\left( {I,\left( P \right)} \right)$ và viết phương trình mặt cầu.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $R = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2 - 2.\left( { - 1} \right) - 2.\left( { - 1} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 3$

Phương trình mặt cầu: $\left( S \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = {3^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y + 2z - 3 = 0$.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Phương trình mặt cầu có tâm $I({x_0};{y_0};{z_0})$ , bán kính $R$:  ${(x - {x_0})^2} + {(y - {y_0})^2} + {(z - {z_0})^2} = {R^2}$ .

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu đường kính AB có tâm $I\left( {3;0; - 1} \right)$ là trung điểm của đoạn thẳng AB và bán kính $R = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{\sqrt {{0^2} + {4^2} + {2^2}} }}{2} = \sqrt 5$, có phương trình là: ${\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 5$.

Chọn: B

Phương pháp giải:

Mặt cầu $\left( S \right)$ tâm I, bán kính R tiếp xúc với mặt phẳng (P) khi và chỉ khi $d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R$.

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = {m^2} + 4$ có tâm $I\left( { - 3;0;2} \right)$, bán kính $R = \sqrt {{m^2} + 4}$

Mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oyz) $\Leftrightarrow d\left( {I;\left( {Oyz} \right)} \right) = R \Leftrightarrow 3 = \sqrt {{m^2} + 4}  \Leftrightarrow {m^2} + 4 = 9 \Leftrightarrow {m^2} = 5 \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt 5$.

Chọn: D

Phương pháp giải:

$\left( P \right)$ tiếp xúc với $\left( S \right) \Leftrightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R$ với $I,R$ lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu $\left( S \right)$.

Lời giải chi tiết:

Xét đáp án B ta có: $x + y - 3z + 3 = 0\,\,\left( P \right)$

$\begin{array}{l}d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {1.3 + 1.2 - 3\left( { - 1} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 9} }} = \dfrac{{11}}{{\sqrt {11} }} = \sqrt {11} \\R = IA = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {3^2}}  = \sqrt {11} \\ \Rightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R\end{array}$

Do đó mặt phẳng ở đáp án B tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right)$.

Chọn B.

Phương pháp giải:

Mặt cầu$\left( S \right)$ tâm $I(a;b;c)$bán kính bằng R, tiếp xúc mặt phẳng $\left( P \right) \Leftrightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R$.

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu$\left( S \right)$tâm $I(a;b;c)$bán kính bằng 1, tiếp xúc mặt phẳng $\left( {Oxz} \right)\,\, \Leftrightarrow$$d\left( {I;\left( {Oxz} \right)} \right) = 1$$\Leftrightarrow \left| b \right| = 1$.

Chọn: C

Phương pháp giải:

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I$ bán kính R, tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right)$$\Leftrightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R$.

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {0;1; - 1} \right)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right):2x - y + 2z - 3 = 0$

$\Leftrightarrow R = d\left( {I;\left( P \right)} \right)$$\Leftrightarrow R = \dfrac{{\left| {0 - 1 - 2 - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} }} = 2$

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ tâm $I\left( {0;1; - 1} \right)$, bán kính $R = 2$ là: ${x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4$.

Chọn: C

Phương pháp giải:

Xác định tọa độ 3 điểm A, B, C. Viết phương trình mặt phẳng (ABC) theo đoạn chắn: $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {x + 2y + 3z} \right) = 0$

Cho $y = z = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,(L)\\x = 2\end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow x = 2 \Rightarrow A\left( {2;0;0} \right)$

Cho $x = z = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\,\,(L)\\y = 4\end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow y = 4 \Rightarrow B\left( {0;4;0} \right)$

Cho $x = y = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 0\,\,(L)\\z = 6\end{array} \right.\,\,\, \Rightarrow z = 6 \Rightarrow C\left( {0;0;6} \right)$

Phương trình (ABC) là:  $\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{4} + \dfrac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 12 = 0$.

Chọn: B

Phương pháp giải:

Phương trình đường tròn tâm $I\left( {a;\,b} \right)$ và bán kính $R$ là:${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}.$

Lời giải chi tiết:

Gọi$I\left( {a;\, - a} \right)\,\,\left( {a > 0} \right)$ thuộc đường thẳng $y =  - x$.

$\Rightarrow \left( S \right):\,\,{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y + a} \right)^2} = 9.$

$\left( S \right)$ tiếp xúc với các trục tọa độ $\Rightarrow d\left( {I;\,Ox} \right) = d\left( {I;\,Oy} \right) = R = 3$

$\Leftrightarrow \left| {{x_I}} \right| = \left| {{y_I}} \right| = 3 \Leftrightarrow a = 3 \Rightarrow \left( S \right):\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9.$

Chọn B.

Phương pháp giải:

Mặt cầu nhận AB làm đường kính có tâm là trung điểm của AB và bán kính $R = \dfrac{{AB}}{2}$.

Lời giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của AB $\Rightarrow I\left( {2;1; - 2} \right),\,\,IA = \sqrt {{1^2} + {1^2} + {2^2}}  = \sqrt 6$

Phương trình mặt cầu nhận AB làm đường kính là:

${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 6 \Leftrightarrow$${x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y + 4z + 3 = 0$.

Chọn: C

Phương pháp giải:

Phương trình mặt cầu tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ bán kính R là: ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu tâm $I\left( {2; - 1;3} \right)$ tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) $\Rightarrow R = d\left( {I;\left( {Oxy} \right)} \right) = \left| {{z_I}} \right| = 3$

Phương trình mặt cầu đó là: ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9$.

Chọn: A

Phương pháp giải:

Tính bán kính $R = IA = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_I}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_I}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_I}} \right)}^2}}$

Phương trình mặt cầu  có tâm $I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có bán kính $R$ có dạng

${\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {\left( {y - {y_0}} \right)^2} + {\left( {z - {z_0}} \right)^2} = {R^2}$

Lời giải chi tiết:

Ta có bán kính mặt cầu $R = IA = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}}  = \sqrt 5$

Phương trình mặt cầu tâm  $I\left( {1;1;1} \right)$ và bán kính $R = \sqrt 5$ là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 5$

CHỌN B.

Phương pháp giải:

Mặt cầu đường kính $AB$ có tâm là trung điểm của $AB$ và có bán kính bằng $\dfrac{{AB}}{2}$.

Lời giải chi tiết:

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ ta có $I\left( {2;2;2} \right)$.

Ta có : $AB = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 3} \right)}^2}}  = \sqrt {4 + 4}  = 2\sqrt 2$.

Do đó mặt cầu đường kính $AB$ có tâm $I\left( {2;2;2} \right)$ và bán kính $R = \dfrac{{AB}}{2} = \sqrt 2$.

Vậy phương trình mặt cầu là ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 2$.

Chọn A.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

Phương pháp giải:

Mặt phẳng ( P ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) tại H suy ra IH vuông góc với ( P ) với I là tâm mặt cầu  ( S ) 

Lời giải chi tiết:

$\begin{align}  & \left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=14 \\ & =>I\left( 1;-2;1 \right) \\\end{align}$

Suy ra phương trình đường thẳng IH:  $\left\{ \begin{align}  & x=1+2t \\ & y=3t-2 \\ & z=1+t \\\end{align} \right.$  

Gọi H( 1+2t ; 3t – 2 ; 1+t ) . Thay H vào ptmp ( P ) ta có :

$\begin{align}  & 2\left( 2t+1 \right)+3\left( 3t-2 \right)+t+1-11=0<=>t=1 \\ & =>H\left( 3;1;2 \right) \\\end{align}$

Chọn đáp án C

Phương pháp giải:

Phương trình mặt cầu tâm $I\left( {a;b;c} \right)$ và có bán kính R là:

                    ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$

Lời giải chi tiết:

Bán kính mặt cầu $R = IA = \sqrt {{{\left( {2 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {0 - 0} \right)}^2}}  = 5$

Phương trình mặt cầu:  ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} = 25$.

Chọn: D  

Phương pháp giải:

${{d}^{2}}+{{r}^{2}}={{R}^{2}}$

Trong đó, $d$: khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (P),

                  $r$: bán kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) và mặt phẳng (P),

                 $R$: bán kính hình cầu. 

Lời giải chi tiết:

$\left( S \right):{{(x+3)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}=10$ có tâm $I(-3;0;1)$, bán kính $R=\sqrt{10}$.

$(S)\cap (P)$là một đường tròn có bán kính $r=3$

Ta có: ${{R}^{2}}={{d}^{2}}_{(I;(P))}+{{r}^{2}}\Leftrightarrow 10={{d}^{2}}_{(I;(P))}+{{3}^{2}}\Leftrightarrow d(I;(P))=1$

+) $\left( {{P}_{1}} \right):x+2y-2z+8=0$ :

$d(I;({{P}_{1}}))=\frac{\left| -3+2.0-2.1+8 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}=1\Rightarrow ({{P}_{1}})$ : Thỏa mãn.

+)  $\left( {{P}_{2}} \right):x+2y-2z-8=0$

$d(I;({{P}_{2}}))=\frac{\left| -3+2.0-2.1-8 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}=\frac{13}{3}\ne 1\Rightarrow ({{P}_{2}})$: Không thỏa mãn.

+) $\left( {{P}_{3}} \right):x+2y-2z-2=0$

$d(I;({{P}_{3}}))=\frac{\left| -3+2.0-2.1-2 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}=\frac{7}{3}\ne 1\Rightarrow ({{P}_{3}})$: Không thỏa mãn.

+) $\left( {{P}_{4}} \right):x+2y-2z-4=0$

$d(I;({{P}_{4}}))=\frac{\left| -3+2.0-2.1-4 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{(-2)}^{2}}}}=3\ne 1\Rightarrow ({{P}_{4}})$: Không thỏa mãn.

Chọn: A

Phương pháp giải:

Gọi I là tâm mặt cầu $\left( S \right)$ ta có mặt phẳng tiếp xúc với $\left( S \right)$ tại P đi qua P và nhận $\overrightarrow {IP}$ là 1 VTPT.

Lời giải chi tiết:

$I\left( {1;2;3} \right)$ là tâm của mặt cầu $\left( S \right) \Rightarrow \overrightarrow {IP}  = \left( { - 6; - 6;3} \right) = 3\left( {2;2; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow n \left( {2;2; - 1} \right)$ là 1 VTPT của mặt phẳng đi qua P và tiếp xúc với $\left( S \right)$. Do đó mặt phẳng cần tìm có phương trình :

$2\left( {x + 5} \right) + 2\left( {y + 4} \right) - 1\left( {z - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 2y - z + 24 = 0$

Chọn D.