Giải bài 1 trang 56 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Đề bài

Viết phương trình chính tắc của hypebol (H), biết:

a) Tiêu điểm là ${F_1}\left( { - 3;0} \right)$ và đỉnh là ${A_2}\left( {2;0} \right)$

b) Đỉnh là ${A_2}\left( {4;0} \right)$ và tiêu cự bằng 10

c) TIêu điểm ${F_2}\left( {4;0} \right)$ và phương trình một đường tiệm cận là $y =  - \frac{{\sqrt 7 }}{3}x$

Lời giải chi tiết

a) Tiêu điểm là ${F_1}\left( { - 3;0} \right)$ và đỉnh là ${A_2}\left( {2;0} \right)$

+ Hypebol có tiêu điểm là ${F_1}\left( { - 3;0} \right) \Rightarrow c = 3$

+ Hypebol có đỉnh là ${A_2}\left( {2;0} \right) \Rightarrow a = 2$

Khi đó ${b^2} = {c^2} - {a^2} = {3^2} - {2^2} = 5$

Khi đó phương trình chính tắc của hypebol là: $\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{5} = 1$

b) Đỉnh là ${A_2}\left( {4;0} \right)$ và tiêu cự bằng 10

+ Hypebol có đỉnh là ${A_2}\left( {4;0} \right) \Rightarrow a = 4$

+ Hypebol có tiêu cự bằng 10 $\Rightarrow 2c = 10 \Rightarrow c = 5$

Khi đó ${b^2} = {c^2} - {a^2} = {5^2} - {4^2} = 9$

Khi đó phương trình chính tắc của hypebol là: $\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1$

c) TIêu điểm ${F_2}\left( {4;0} \right)$ và phương trình một đường tiệm cận là $y =  - \frac{{\sqrt 7 }}{3}x$

+ Hypebol có tiêu điểm là ${F_2}\left( {4;0} \right) \Rightarrow c = 4$

+ Hypebol có đường tiệm cận là $y =  - \frac{{\sqrt 7 }}{3}x \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{{\sqrt 7 }}{3} \Rightarrow \frac{{{b^2}}}{{{a^2}}} = \frac{7}{9} \Rightarrow {b^2} = \frac{7}{9}{a^2}$

Với $c = 4 \Rightarrow {c^2} = {a^2} + {b^2} = 16 \Rightarrow \frac{7}{9}{b^2} + {b^2} = 16 \Rightarrow \frac{{16}}{9}{b^2} = 16 \Rightarrow {b^2} = 9 \Rightarrow {a^2} = 7$

Khi đó phương trình chính tắc của hypebol là: $\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{7} = 1$