Giải bài 10 trang 23 SBT toán 10 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho tam giác ABC và ABD cùng vuông tại A như hình 3 có $AB = x;BC = 5$ và $BD = 6$

a) Biểu diễn độ dài cạnh AC và AD theo x

b) Tìm x để chu vi của tam giác ABC là 12

c) Tìm x để $AD = 2AC$

Lời giải chi tiết

a) Áp dụng định lí pitago cho tam giác ABC ta có:

          $AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{5^2} - {x^2}}  = \sqrt {25 - {x^2}}$

Áp dụng định lí pitago cho tam giác ABD ta có:

          $AD = \sqrt {B{D^2} - A{B^2}}  = \sqrt {{6^2} - {x^2}}  = \sqrt {36 - {x^2}}$

b) Ta có: $AB + AC + BC = 12$

          $\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + \sqrt {25 - {x^2}}  + 5 = 12\\ \Leftrightarrow \sqrt {25 - {x^2}}  = 7 - x\\ \Rightarrow 25 - {x^2} = 49 - 14x + {x^2}\\ \Rightarrow 2{x^2} - 14x + 24 = 0\end{array}$

          $\Rightarrow x = 3$ hoặc $x = 4$

Thay hai giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn

Vậy khi $x = 3$ hoặc $x = 4$ thì chu vi của tam giác ABC là 12

c) Ta có: $AD = 2AC$

          $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {36 - {x^2}}  = 2\sqrt {25 - {x^2}} \\ \Rightarrow 36 - {x^2} = 4\left( {25 - {x^2}} \right)\\ \Rightarrow 3{x^2} - 64 = 0\end{array}$

          $\Rightarrow x =  - \frac{{8\sqrt 3 }}{3}$ (loại vì $x > 0$)  hoặc $x = \frac{{8\sqrt 3 }}{3}$

Thay $x = \frac{{8\sqrt 3 }}{3}$ vào phương trình ban đầu ta thấy thỏa mãn

Vậy $x = \frac{{8\sqrt 3 }}{3}$ thì $AD = 2AC$