Giải bài 10 trang 69 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

a)    Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = \frac{5}{4}$, $q =  - \frac{1}{3}$.

b)    Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn $2,\left( 3 \right)$ dưới dạng phân số.

Lời giải chi tiết

a) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = \frac{5}{4}$, $q =  - \frac{1}{3}$ là:

$S = \frac{{u{\rm{\_1}}}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{5}{4}}}{{1 - \frac{{ - 1}}{3}}} = \frac{5}{4}:\frac{4}{3} = \frac{{15}}{{16}}$

b) Ta có:

$2,\left( 3 \right) = 2 + \frac{3}{{10}} + \frac{3}{{100}} + \frac{3}{{1000}} + ...$

Xét cấp số nhân lùi vô hạn $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = \frac{3}{{10}}$, $q = \frac{1}{{10}}$.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn này là:

$S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{3}{{10}}}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = \frac{3}{{10}}  :\frac{9}{{10}} = \frac{1}{3}$

Vậy $2,\left( 3 \right) = 2 + \left( {\frac{3}{{10}} + \frac{3}{{100}} + ...} \right) = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$