Giải Bài 11 trang 39 sách bài tập toán 7 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Chứng tỏ rằng $\sqrt 2$ là số vô tỉ.

Lời giải chi tiết

Giả sử $\sqrt 2$ là số hữu tỉ.

Như vậy, $\sqrt 2$ có thể viết được dưới dạng $\dfrac{m}{n}$ với $m,n \in \mathbb{N}$ và $(m,n) = 1$.

Ta có:  $\sqrt 2  = \dfrac{m}{n}$ nên ${\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = {\left( {\dfrac{m}{n}} \right)^2}$ hay $2 = \dfrac{{{m^2}}}{{{n^2}}}$. Suy ra: ${m^2} = 2{n^2}$.

Mà $(m,n) = 1$ nên ${m^2}$ chia hết cho 2 hay m chia hết cho 2. Do đó $m = 2k$ với $k \in \mathbb{N}$ và $(k,n) = 1$.

Thay $m = 2k$ vào ${m^2} = 2{n^2}$ ta được: $4{k^2} = 2{n^2}$ hay ${n^2} = 2{k^2}$.

Do $(k,n) = 1$ nên ${n^2}$ chia hết cho 2 hay n chia hết cho 2.

Suy ra m và n đều chia hết cho 2 mâu thuẫn với $(m,n) = 1$.

Vậy $\sqrt 2$ không là số hữu tỉ mà là số vô tỉ.