Giải bài 1.19 trang 18 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Xét tính tuần hoàn của các hàm số sau:

a) $y = {\rm{A}}\sin \left( {\omega x + \varphi } \right)$ với A > 0;                          

b) $y = {\rm{A}}\tan \left( {\omega x + \varphi } \right)$ với A > 0;

c) $y = 3\sin 2x + 3\cos 2x$;                                                    

d) $y = 3\sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) + 3\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)$.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Nếu kí hiệu $f(x) = {\rm{A}}\sin \left( {\omega x + \varphi } \right)$ thì với mọi $x \in D$, ta có

$x + \frac{\pi }{\omega } \in D,\,\,x - \frac{\pi }{\omega } \in D$ và

$f\left( {x + \frac{{2\pi }}{\omega }} \right) = A\sin \left( {\omega \left( {x + \frac{{2\pi }}{\omega }} \right) + \varphi } \right) = A\sin \left( {\omega x + 2\pi  + \varphi } \right) = A\sin \left( {\omega x + \varphi } \right) = f(x)$

Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn. Chu kì của hàm số này là $\frac{{2\pi }}{\omega }$.

b) Nếu kí hiệu D là tập xác định của hàm số $f(x) = {\rm{A}}\tan \left( {\omega x + \varphi } \right)$ thì với mọi $x \in D$, ta có

$x + \frac{\pi }{\omega } \in D,\,\,x - \frac{\pi }{\omega } \in D$ và

$f\left( {x + \frac{\pi }{\omega }} \right) = A\tan \left( {\omega \left( {x + \frac{\pi }{\omega }} \right) + \varphi } \right) = A\tan \left( {\omega x + \pi  + \varphi } \right) = A\tan \left( {\omega x + \varphi } \right) = f(x)$

Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn. Chu kì của hàm số này là $\frac{\pi }{\omega }$.

c) Ta có $y = 3\sin 2x + 3\cos 2x = 3(\sin 2x + \cos 2x) = 3\sqrt 2 \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)$

Theo như câu a, hàm số $y = 3\sin 2x + 3\cos 2x$ là hàm số tuần hoàn có chu kì $\pi$.

d) Ta có:

$\begin{array}{l}y = 3\sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) + 3\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = 3\left( {\sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) + \sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)} \right)\\\,\,\,\,\, = 3\left( {2\sin \left( {\frac{{\left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) + \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)}}{2}} \right)\cos \left( {\frac{{\left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) - \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)}}{2}} \right)} \right)\\\,\,\,\,\, = 3.2\sin \left( {2x - \frac{\pi }{{12}}} \right)\cos \frac{\pi }{4} = 6\sin \left( {2x - \frac{\pi }{{12}}} \right).\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 3\sqrt 2 \sin \left( {2x - \frac{\pi }{{12}}} \right).\end{array}$

Theo như câu a, hàm số $y = 3\sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) + 3\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)$ là hàm số tuần hoàn có chu kì $\pi$.