Giải bài 12 trang 26 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Giả sử tốc độ tăng trưởng của một quần thể muỗi thoả mãn công thức

$N'\left( t \right) = 0,2N\left( t \right),0 \le t \le 5$,

trong đó $t$ là thời gian tính theo ngày, $N\left( t \right)$ là số cá thể muỗi tại thời điểm. Biết rằng ban đầu quần thể muỗi có 2000 cá thể.

a) Đặt $y\left( t \right) = \ln N\left( t \right),0 \le t \le 5$. Chứng tỏ rằng $y'\left( t \right) = 0,2$. Từ đó, tìm $N\left( t \right)$ với $0 \le t \le 5$.

b) Tìm số lượng cá thể của quần thể muỗi sau 3 ngày (kết quả làm tròn đến hàng trăm).

Lời giải chi tiết

a) Theo đề bài ta có: $N'\left( t \right) = 0,2N\left( t \right) \Leftrightarrow \frac{{N'\left( t \right)}}{{N\left( t \right)}} = 0,2$

Ta có: $y'\left( t \right) = {\left[ {\ln N\left( t \right)} \right]^\prime } = \frac{{N'\left( t \right)}}{{N\left( t \right)}} = 0,2$

$y\left( t \right) = \ln N\left( t \right) = \int {0,2dt}  = 0,2t + C$

Do đó $N\left( t \right) = {e^{0,2t + C}}$.

Vì ban đầu quần thể muỗi có 2000 cá thể nên $N\left( 0 \right) = 2000 \Leftrightarrow {e^{0,2.0 + C}} = 2000 \Leftrightarrow C = \ln 2000$

Vậy $N\left( t \right) = {e^{0,2t + \ln 2000}} = {e^{0,2t}}.{e^{\ln 2000}} = 2000.{e^{0,2t}}$ với $0 \le t \le 5$.

b) Số lượng cá thể của quần thể muỗi sau 3 ngày là: $N\left( 3 \right) = 2000.{e^{0,2.3}} \approx 3600$ (cá thể).