Giải bài 12 trang 41 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho đường thẳng $d:{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0,\;$  đường tròn $\left( C \right):{\rm{ }}{x^2}\; + {\rm{ }}{y^2}\;-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0.$

a) Tìm ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox.

b) Tìm ảnh của (C) qua phép đối xứng trục Oy.

Lời giải chi tiết

a) Chọn điểm $M\left( {-1;{\rm{ }}-1} \right) \in d:{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0.$

Ta đặt $M'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_{Ox}}\left( M \right).$

Suy ra Ox là đường trung trực của đoạn MM’ hay M, M’ đối xứng nhau qua Ox.

Do đó hai điểm M và M’ có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ

Gọi N là giao điểm của d và Ox, khi đó ${y_N}\; = {\rm{ }}0,$ suy ra ${x_N}\; = {\rm{ }}-2.$Do đó $N\left( {-2;{\rm{ }}0} \right).$

Gọi d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox, khi đó đường thẳng d’ đi qua hai điểm $M'\left( {-1;{\rm{ }}1} \right)$ và $N\left( {-2;{\rm{ }}0} \right).$

Ta có: $\overrightarrow {M'N}  = \left( { - 1; - 1} \right) \Rightarrow {\vec n_{d'}} = \left( {1; - 1} \right)$

Đường thẳng d’ đi qua điểm N(–2; 0) và có vectơ pháp tuyến ${\vec n_{d'}} = \left( {1; - 1} \right)$ nên có phương trình là:

$1.\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}1.\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}0} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow x{\rm{ }}-{\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0.$

b) Đường tròn $\left( C \right):{\rm{ }}{x^2}\; + {\rm{ }}{y^2}\;-{\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0$ có tâm I(2; –4), bán kính $R = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} - \left( { - 5} \right)}  = 5$

Gọi đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua ${Đ_{Oy}}.$

Suy ra (C’) là đường tròn có tâm là ảnh của I qua ${Đ_{Oy}}.$  và có bán kính $R'{\rm{ }} = {\rm{ }}R{\rm{ }} = {\rm{ }}5.$

Ta đặt $I'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_{Oy}}\left( I \right).$

Suy ra Oy là đường trung trực của đoạn II’ hay I và I’ đối xứng nhau qua Oy

Do đó hai điểm I và I’ có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ I’(–2; –4).

Vậy phương trình đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua ${Đ_{Oy}}.$ là: ${\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}4} \right)^2}\; = {\rm{ }}25.$