Giải bài 12 trang 92 sách bài tập toán 8 - Cánh diều

Đề bài

Cho hình thang cân $ABCD$ có $AB//CD,AB < CD$, hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $P$, hai cạnh bên $AD$ và $BC$ kéo dài cắt nhau tại $Q$. Chứng minh $PQ$ là đường trung trực của hai đáy hình thang cân $ABCD$.

Lời giải chi tiết

$\Delta ACD = \Delta BDC$ (c.g.c). Suy ra $\widehat {PCD} = \widehat {PDC}$

Do đó, tam giác $PCD$ cân tại $P$. Suy ra $PC = PD$

Mà $AC = BD$, suy ra $PA = PB$

Do $AB//CD$ nên $\widehat {QAB} = \widehat {ADC};\widehat {QBA} = \widehat {BCD}$ (các cặp góc đồng vị)

Mặt khác, $\widehat {ADC} = \widehat {BCD}$ nên $\widehat {QAB} = \widehat {QBA}$

Do đó, tam giác $QAB$ cân tại $Q$. Suy ra $QA = QB$

Mà $AD = BC$, suy ra $QD = QC$

Ta có: $PA = PB,PC = PD$ và $QA = QB,QC = QD$ nên $PQ$ là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng $AB$ và $CD$.