Giải bài 18 trang 42 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho tam giác ABC có góc B, góc C đều là góc nhọn. Nêu cách vẽ hình chữ nhật DEFG có đỉnh D, đỉnh E thuộc cạnh BC, đỉnh F, đỉnh G thuộc cạnh AC, AB và có EF = 2DE.

Lời giải chi tiết

⦁ Phân tích:

Lấy điểm G’ bất kì trên AB.

Dựng hình chữ nhật D’E’F’G’ có $\;E'F'{\rm{ }} = {\rm{ }}2D'E'$ và hai đỉnh D’, E’ thuộc BC.

Đường thẳng BF’ cắt AC tại F.

Do D’E’F’G’ là hình chữ nhật nên $G'D'{\rm{ }} \bot {\rm{ }}D'E'$ hay $G'D'{\rm{ }} \bot {\rm{ }}BC.$

Mà GD ⊥ BC (do DEFG là hình chữ nhật).

Nên G’D’ // GD.

Chứng minh tương tự, ta được E’F’ // EF.

Vì D’E’F’G’ là hình chữ nhật nên G’F’ // D’E’ hay G’F’ // BC.

Mà GF // BC (do DEFG là hình chữ nhật).

Suy ra GF // G’F’.

Áp dụng định lí Thales, ta được $\frac{{BG}}{{BG'}} = \frac{{BF}}{{BF'}}$

Suy ra $BF' = \frac{{BG'}}{{BG}}.BF$

Mà $\overrightarrow {BF'} ,\overrightarrow {BF}$ cùng hướng.

Do đó $\overrightarrow {BF'}  = \frac{{BG'}}{{BG}}.\overrightarrow {BF}$

Vì vậy ${\rm{F'}} = {V_{\left( {B,\frac{{BG'}}{{BG}}} \right)}}\left( F \right)\,\,(1)$

Chứng minh tương tự, ta được $D' = {V_{\left( {B,\frac{{BG'}}{{BG}}} \right)}}\left( D \right)$ và $E' = {V_{\left( {B,\frac{{BG'}}{{BG}}} \right)}}\left( E \right)\,\,(2)$

Lại có $G' = {V_{\left( {B,\frac{{BG'}}{{BG}}} \right)}}\left( G \right)\,\,(3)$

Từ (1), (2), (3), ta thu được ${V_{\left( {B,\frac{{BG'}}{{BG}}} \right)}}$ biến hình chữ nhật D’E’F’G’ thành hình chữ nhật DEFG. Từ đó, ta suy ra cách dựng hình chữ nhật DEFG.

⦁ Cách dựng:

Lấy điểm G’ tùy ý trên AB.

Dựng hình chữ nhật D’E’F’G’ có E’F’ = 2D’E’, hai đỉnh D’, E’ nằm trên BC.

Đường thẳng BF’ cắt AC tại F.

Đường thẳng qua F song song với BC cắt AB tại G.

Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của G, F lên BC.

Vậy ta đã dựng xong hình chữ nhật DEFG.