Giải bài 19 trang 95 sách bài tập toán 8 - Cánh diều

Đề bài

Cho tam giác nhọn $ABC$ có ba đường cao $AM,BN,CP$ cắt nhau tại $H$. Qua $B$ kẻ tia $Bx$ vuông góc với $AB$. Qua $C$ kẻ tia $Cy$ vuông góc với $AC$. Gọi $D$ là giao điểm của $Bx$ và $Cy$ (Hình 15)

a)     Chứng minh tứ giác $BDCH$ là hình bình hành;

b)    Tam giác $ABC$ có điều kiện gì thi ba điểm $A,D,H$ thẳng hàng?

c)     Tìm mối liên hệ giữa góc $A$ và góc $D$ của tứ giác $ABCD$.

d)    Giả sử $H$ là trung điểm của $AM$. Chứng minh diện tích của tam giác $ABC$ bằng diện tích của tứ giác $BHCD$.

Lời giải chi tiết

a)     Ta có: $\widehat {APC} = \widehat {ABD} = 90^\circ$ và $\widehat {APC},\widehat {ABD}$ nằm ở vị trí đồng vị nên $CP//BD$.

Tương tự ta chứng minh được $BN//CD$.

Tứ giác $BDCH$ có $BD//CH,BH//CD$ nên $BDCH$ là hình bình hành.

b)    Để ba điểm $A,D,H$ thẳng hàng thì $M$ phải thuộc $DH$. Mà $M$ thuộc $BC$, suy ra $M$ là giao điểm của $BC$ và $DH$.

Do $BDCH$ là hình bình hành nên hai đường chéo $BC$ và $DH$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. suy ra $M$ là trung điểm $BC$.

Khi đó $\Delta ABM = \Delta ACM$ (c.g.c). Suy ra $AB = AC$.

Dễ thấy nếu tam giác $ABC$ có $AB = AC$ thì ba điểm $A,D,H$ thẳng hàng.

Vậy tam giác $ABC$ cân tại $A$ thì $A,D,H$ thẳng hàng.

c)     Xét tứ giác $ABCD$, ta có: $\widehat {BAC} + \widehat {DBA} + \widehat {CDB} + \widehat {ACD} = 360^\circ$.

Mà $\widehat {DBA} = \widehat {ACD} = 90^\circ$, suy ra tính được $\widehat {BAC} + \widehat {CDB} = 3180^\circ$

Vậy góc $A$ và góc $D$của tứ giác $ABCD$ là hai góc bù nhau.

d)    Do $H$ là trung điểm của $AM$ nên $HM = \frac{1}{2}AM$

Ta có diện tích tam giác $ABC$ bằng: $\frac{1}{2}.AM.BC = HM.BC$.

Ta chứng minh được $\Delta BCH = \Delta CBD$ (c.c.c.). Suy ra diện tích tứ giác $BHCD$ bằng 2 lần diện tích tam giác $BCH$.

Do đó, diện tích tứ giác $BHCD$ bằng: $\left( {\frac{1}{2}.HM.BC = HM.BC} \right)$ vạy diện tích tam giác $ABC$ bằng điệnt tích của tứ giác $BHCD$.