Giải bài 2.18 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Biết rằng ${(2 + x)^{100}} = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ... + {a_{100}}{x^{100}}$. Với giá trị nào của k $(0 \le k \le 100)$ thì ${a_k}$ lớn nhất?

Lời giải chi tiết

Ta có:

$\begin{array}{l}{(2 + x)^{100}} = C_{100}^0{2^{100}} + C_{100}^1{2^{99}}x + C_{100}^2{2^{98}}{x^2} + ... + C_{100}^{100}{x^{100}}\\ \Rightarrow {a_k} = {2^{100 - k}}C_{100}^k\end{array}$

Để ${a_k}$ lớn nhất thì ${a_{k - 1}} \le {a_k} \ge {a_{k + 1}}\forall k$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {2^{101 - k}}C_{100}^{k - 1} \le {2^{100 - k}}C_{100}^k \ge {2^{99 - k}}C_{100}^{k + 1}\\ \Leftrightarrow {2^{101 - k}}\frac{{100!}}{{(k - 1)!\left( {101 - k} \right)!}} \le {2^{100 - k}}\frac{{100!}}{{k!\left( {100 - k} \right)!}} \ge {2^{99 - k}}\frac{{100!}}{{(k + 1)!\left( {99 - k} \right)!}}\\ \Leftrightarrow {2^2}\frac{1}{{\left( {101 - k} \right)(100 - k)}} \le 2.\frac{1}{{k\left( {100 - k} \right)}} \ge \frac{1}{{k(k + 1)}}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{{\left( {101 - k} \right)(100 - k)}} \le \frac{2}{{k\left( {100 - k} \right)}}\\\frac{2}{{k\left( {100 - k} \right)}} \ge \frac{1}{{k(k + 1)}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{101 - k}} \le \frac{1}{k}\\\frac{2}{{100 - k}} \ge \frac{1}{{k + 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2k \le 101 - k\\2(k + 1) \ge 100 - k\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \frac{{98}}{3} \le k \le \frac{{101}}{3} \Rightarrow k = 33\;(k \in \mathbb{N})\end{array}$

Vậy ${a_{33}}$ là lớn nhất.