Giải bài 25 trang 18 sách bài tập toán 8 - Cánh diều

Đề bài

Chứng minh biểu thức $B = {x^5} - 15{x^2} - x + 5$ chia hết cho 5 với mọi số nguyên $x$

Lời giải chi tiết

Trước hết, ta chứng minh ${x^5} - x \vdots 5$

Ta có: ${x^5} - x = x\left( {{x^4} - 1} \right) = x\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)$

Nếu $x = 5k$ thì $x \vdots 5$

Khi đó $x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) \vdots 5$ hay ${x^5} - x \vdots 5$

Nếu $x = 5k + 1$ thì $x - 1 = 5k \vdots 5$

Khi đó $x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) \vdots 5$ hay ${x^2} - x \vdots 5$

Nếu $x = 5k + 2$ thì ${x^2} + 1 = {\left( {5k + 2} \right)^2} + 1 = 25{k^2} + 20k + 5 \vdots 5$

Khi đó $x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) \vdots 5$ hay ${x^2} - x \vdots 5$

Nếu $x = 5k + 3$ thì ${x^2} + 1 = {\left( {5k + 3} \right)^2} + 1 = 25{k^2} + 30k + 10 \vdots 5$

Khi đó $x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) \vdots 5$ hay ${x^2} - x \vdots 5$

Nếu $x = 5k + 4$ thì $x + 1 = 5k + 5 \vdots 5$

Khi đó $x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) \vdots 5$ hay ${x^2} - x \vdots 5$

Do đó ${x^5} - x \vdots 5$ với mọi số nguyên $x$

Ta có: ${x^5} - x \vdots 5;15{x^2} \vdots 5;5 \vdots 5$ nên ${x^5} - 15{x^2} - x + 5 \vdots 5$ với mọi số nguyên$x$.

Vậy $B$ chia hết cho 5 với mọi số nguyên $x$.