Giải bài 27 trang 51 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ biết ${u_1} =  - 2$, ${u_{n + 1}} = \frac{{{u_n}}}{{1 - {u_n}}}$ với $n \in {\mathbb{N}^*}$.

Đặt ${v_n} = \frac{{{u_n} + 1}}{{{u_n}}}$ với $n \in {\mathbb{N}^*}$.

a)    Chứng minh rằng dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ là một cấp số cộng. Tìm số hạng đầu, công sai của cấp số cộng đó.

b)    Tìm công thức của ${v_n}$, ${u_n}$ tính theo $n$.

c)     Tính tổng $S = \frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{20}}}}$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

${v_n} = \frac{{{u_n} + 1}}{{{u_n}}} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}$, ${v_{n + 1}} = 1 + \frac{1}{{{u_{n + 1}}}} = 1 + \frac{1}{{\frac{{{u_n}}}{{1 - {u_n}}}}} = 1 + \frac{{1 - {u_n}}}{{{u_n}}} = \frac{{{u_n} + 1 - {u_n}}}{{{u_n}}} = \frac{1}{{{u_n}}}$

$\Rightarrow {v_{n + 1}} - {v_n} = \frac{1}{{{u_n}}} - \left( {1 + \frac{1}{{{u_n}}}} \right) =  - 1$.

Như vậy $\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số cộng với $d =  - 1$.

Số hạng đầu của dãy $\left( {{v_n}} \right)$ là ${v_1} = 1 + \frac{1}{{{u_1}}} = 1 + \frac{1}{{ - 2}} = \frac{1}{2}$

b) Vì $\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số cộng với số hạng đầu ${v_1} = \frac{1}{2}$ và công sai $d =  - 1$, nên ta có ${v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right)d = \frac{1}{2} + \left( {n - 1} \right)\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2} + 1 - n = \frac{{3 - 2n}}{2}$.

Do ${v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}$ nên $\frac{{3 - 2n}}{2} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}} \Rightarrow \frac{1}{{{u_n}}} = \frac{{1 - 2n}}{2} \Rightarrow {u_n} = \frac{2}{{1 - 2n}}$

c) Ta có ${v_n} = 1 + \frac{1}{{{u_n}}}$ nên:

$S = \frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{20}}}} = \left( {{v_1} - 1} \right) + \left( {{v_2} - 1} \right) + \left( {{v_3} - 1} \right) + ... + \left( {{v_{20}} - 1} \right)$

$= \left( {{v_1} + {v_2} + {v_3} + ... + {v_{20}}} \right) - 20 = \frac{{\left( {2{v_1} + 19d} \right).20}}{2} - 20 = 10\left( {2.\frac{1}{2} - 19} \right) - 2 =  - 200$