Giải bài 3 trang 13 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Đề bài

Giải hệ phương trình:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}3x - y - 2z = 5\\2x + y + 3z = 6\\6x - y - 4z = 9\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 3z = 5\\3x - y + z = 4\\7x + y - 5z =  - 2\end{array} \right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 4z =  - 1\\2x - y - 3z = 3\\x - 3y + z = 4\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - y - 2z = 5}\\{2x + y + 3z = 6}\\{6x - y - 4z = 9}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - y - 2z = 5}\\{2x + y + 3z = 6}\\{6x - y - 4z - 2(3x - y - 2z) = 9 - 2.5}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - y - 2z = 5}\\{2x + y + 3z = 6}\\{y = - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - y - 2z = 5}\\{3(2x + y + 3z) - 2(3x - y - 2z) = 3.6 - 2.5}\\{y = - 1}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - y - 2z = 5}\\{5y + 13z = 8}\\{y = - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - y - 2z = 5}\\{z = 1}\\{y = - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{z = 1}\\{y = - 1}\end{array}} \right.\)

Hệ phương trình có nghiệm \((x;y;z) = \left( {2; - 1;1} \right)\).

b) Ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y - 3z = 5}\\{3x - y + z = 4}\\{7x + y - 5z =  - 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y - 3z = 5}\\{3x - y + z = 4}\\{7x + y - 5z - 2\left( {2x + y - 3z} \right) =  - 2 - 2.5}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y - 3z = 5}\\{3x - y + z = 4}\\{3x - y + z = - 12}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y - 3z = 5}\\{3x - y + z = 4}\\{4 = - 12}\end{array}} \right.\)

Phương trình thứ ba của hệ vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c)  Ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y - 4z = - 1}\\{2x - y - 3z = 3}\\{x - 3y + z = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y - 4z = - 1}\\{2x - y - 3z = 3}\\{x - 3y + z + \left( {x + 2y - 4z} \right) = 4 + ( - 1)}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y - 4z = - 1}\\{2x - y - 3z = 3}\\{2x - y - 3z = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y - 4z = - 1}\\{2x - y - 3z = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y - 4z = - 1}\\{x - 3y + z = 4}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y - 4z = - 1}\\{5y - 5z = - 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y - 4z = - 1}\\{y = z - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2z + 1}\\{y = z - 1}\end{array}} \right.\)

Đặt \(z = t\) với \(t\) là số thực bất kì, ta có: \(x = 2t + 1;y = t - 1.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm \((x;y;z) = (2t + 1;t - 1;t)\) với \(t\) là số thực bất kì.