Giải bài 35 trang 59 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) ${\Delta _1}:\frac{{x + 7}}{5} = \frac{{y - 1}}{{ - 7}} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}$ và ${\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 5 - 3t\\y =  - 10 - 4t\\z = 3 + 7t\end{array} \right.$ (với $t$ là tham số);

b) ${\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 5t\\y = 1 - t\\z = 3t\end{array} \right.$ (với $t$ là tham số) và ${\Delta _2}:\frac{{x + 2}}{4} = \frac{{y - 1}}{5} = \frac{{z - 1}}{{ - 6}}$;

c) ${\Delta _1}:\frac{x}{3} = \frac{{y + 5}}{2} = \frac{{z - 1}}{{ - 3}}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x - 1}}{{ - 6}} = \frac{{y - 3}}{{ - 4}} = \frac{{z - 1}}{6}$.

Lời giải chi tiết

a) Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua điểm ${M_1}\left( { - 7;1; - 2} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {5; - 7; - 2} \right)$.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ đi qua điểm ${M_2}\left( { - 5; - 10;3} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 3; - 4;7} \right)$.

Ta có: $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 57; - 29; - 41} \right),\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \left( {2; - 11;5} \right)$.

$\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  =  - 57.2 - 29.\left( { - 11} \right) - 41.5 = 0$. Vậy ${\Delta _1}$ cắt ${\Delta _2}$.

b) Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua điểm ${M_1}\left( { - 2;1;0} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {5; - 1;3} \right)$.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ đi qua điểm ${M_2}\left( { - 2;1;1} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {4;5; - 6} \right)$.

Ta có: $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 9;42;29} \right),\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \left( {0;0;1} \right)$.

$\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  =  - 9.0 + 42.0 + 29.1 = 29 \ne 0$. Vậy ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau.

c) Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua điểm ${M_1}\left( {0; - 5;1} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {3;2; - 3} \right)$.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ đi qua điểm ${M_2}\left( {1;3;1} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 6; - 4;6} \right)$.

Ta có: $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {0;0;0} \right) = \overrightarrow 0 ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \left( {1;8;0} \right)$.

$\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right] = \left( {24; - 3;22} \right) \ne \overrightarrow 0$. Vậy ${\Delta _1}\parallel {\Delta _2}$.