Giải chuyên đề học tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo

Giải bài 4 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Chứng minh rằng bất đẳng thức $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} \le \frac{{n + 1}}{2}$ đúng với mọi $n \in \mathbb{N}*$ .

GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT

Gửi góp ý cho HocTot.XYZ và nhận về những phần quà hấp dẫn

Đề bài

Chứng minh rằng bất đẳng thức $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n} \le \frac{{n + 1}}{2}$ đúng với mọi $n \in \mathbb{N}*$ .

Lời giải chi tiết

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1: Với $n = 1$ ta có $1 = \frac{{1 + 1}}{2}$

Như vậy bất đẳng thức đúng cho trường hợp $n = 1$

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với $n = k$ , nghĩa là có: $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{k} \le \frac{{k + 1}}{2}$

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức đúng với $n = k + 1$ , nghĩa là cần chứng minh $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{k} + \frac{1}{{k + 1}} \le \frac{{k + 2}}{2}$

Sử dụng giả thiết quy nạp, với lưu ý $k \ge 1$ ta có

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{k} + \frac{1}{{k + 1}} \le \frac{{k + 1}}{2} + \frac{1}{{k + 1}} \le \frac{{k + 1}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{{k + 2}}{2}$

Vậy bất đẳng thức đúng với $n = k + 1$ .

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi $n \in \mathbb{N}*$ .

Chia sẻ

Bình luận

Bình chọn:

4 trên 5 phiếu

Giải bài 5 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Với một bình rỗng có dung tích 2l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước như sau:
Giải bài 6 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Tìm hệ số của ({x^3}) trong khai triển của biểu thức sau:
Giải bài 7 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Tìm hệ số của ${x^5}$ trong khai triển của: $(2x + 3){(x - 2)^6}$
Giải bài 8 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
a) Tìm ba số hạng đầu tiên trongg khai triển của ${(1 + 2x)^6}$ , các số hạng được viết theo thứ tự số mũ x tăng dần. b) Sử dụng kết quả trên, hãy tính giá trị gần đúng của $1,{02^6}$
Giải bài 9 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo
Trong khai triển của biểu thức ${(3x - 4)^{15}}$ thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

PH/HS Tham Gia Nhóm Lớp 10 Để Trao Đổi Tài Liệu, Học Tập Miễn Phí!

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10