Giải bài 4 trang 48 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho elip (E): $\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1$.

a) Tìm tâm sai và độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm $M(3;0)$ trên (E).

b) Tìm điểm N trên (E) sao cho $N{F_1} = N{F_2}$

c) Tìm điểm S trên (E) sao cho $S{F_1} = 2S{F_2}$

Lời giải chi tiết

Elip (E): $\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1$ có $a = 3,b = 1 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 2\sqrt 2$

a) + Tâm sai của elip: $e = \frac{c}{a} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$

+ Bán kính qua tiêu của $M(3;0)$: $M{F_1} = 3 + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.3 = 3 + 2\sqrt 2 ,\;M{F_2} = 3 - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.3 = 3 - 2\sqrt 2 .$

b) $N{F_1} = N{F_2} \Leftrightarrow 3 + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.{x_N} = 3 - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.{x_N}$

$\Leftrightarrow \frac{{4\sqrt 2 }}{3}.{x_N} = 0 \Leftrightarrow {x_N} = 0 \Rightarrow {y_N} =  \pm 1$

Vậy $N(0;1)$ hoặc $N(0; - 1)$

c) $S{F_1} = S{F_2} \Leftrightarrow 3 + \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.{x_S} = 2\left( {3 - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.{x_S}} \right)$

$\Leftrightarrow \frac{{6\sqrt 2 }}{3}.{x_S} = 3 \Leftrightarrow {x_S} = \frac{{3\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow {y_S} =   \pm \frac{{\sqrt {3} }}{2}$

Vậy $S\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{4};\frac{{\sqrt {3} }}{2}} \right)$ hoặc $S\left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{4}; - \frac{{\sqrt {3} }}{2}} \right)$