Giải bài 4 trang 57 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ sau đây:

a) ${d_1}:x - y + 2 = 0$ và ${d_2}:x + y + 4 = 0$

b)  ${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + 5t\end{array} \right.$ và ${d_2}:5x - 2y + 9 = 0$

c) ${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 5 + 3t\end{array} \right.$ và ${d_2}:3x + y - 11 = 0$

Lời giải chi tiết

a) ${d_1}$ và ${d_2}$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;1} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 1.1 + ( - 1).1 = 0$ nên $\overrightarrow {{n_1}}  \bot \overrightarrow {{n_2}}$.

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y + 2 = 0\\x + y + 4 = 0\end{array} \right.$ ta được nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y =  - 1\end{array} \right.$.

Suy ra hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ vuông góc và cắt nhau tại $M\left( { - 3; - 1} \right)$.

b) ${d_1}$và ${d_2}$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {5; - 2} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {5; - 2} \right)$.

$\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}}$ trùng nhau nên hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra ${d_1}$ và ${d_2}$ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm $A(1;3)$ thuộc ${d_1}$, thay tọa độ của A vào phương trình ${d_2}$, ta được $5.1 - 2.3 + 9 = 8 \ne 0$, suy ra A không thuộc đường thẳng ${d_2}$.

Vậy hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ song song.

c) ${d_1}$và ${d_2}$ có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3;1} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {3;1} \right)$.

Suy ra hai vectơ pháp tuyến cùng phương. Suy ra ${d_1}$ và ${d_2}$ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm $A(2;5)$ thuộc ${d_1}$, thay tọa độ của A vào phương trình ${d_2}$, ta được $3.2 + 5 - 11 = 0$, suy ra A thuộc đường thẳng ${d_2}$.

Vậy hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ trùng nhau.