Giải bài 4 trang 62 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy và đi qua điểm $A(4;2)$

Lời giải chi tiết

Gọi tâm của đường tròn là điểm $I(a;b)$

Ta có: $IA = \sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}} ,d\left( {I,Ox} \right) = b,d\left( {I,Oy} \right) = a$

Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}d\left( {I,Ox} \right) = IA\\d\left( {I,Oy} \right) = IA\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}} \\a = \sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}} \end{array} \right.$

Thay $a = b$ vào phương trình $a = \sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}}$ ta có:

$\begin{array}{l}a = \sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2} + {{\left( {a - 2} \right)}^2}} \\ \Rightarrow {a^2} = {\left( {a - 4} \right)^2} + {\left( {a - 2} \right)^2}\\ \Rightarrow {a^2} - 12a + 20 = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 10\\a = 2\end{array} \right. \end{array}$

Với $a = b = 2$ ta có phương trình đường tròn (C) là: ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4$

Với $a = b = 10$ ta có phương trình đường tròn (C) là: ${\left( {x - 10} \right)^2} + {\left( {y - 10} \right)^2} = 100$