Giải bài 41 trang 104 sách bài tập toán 8 - Cánh diều

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$. Kẻ $HJ$ vuông góc với $AB$ tại $J$ và $HK$ vuông góc với $AC$ tại $K$. Trên tia $HJ$ lấy điểm $D$ sao cho $DJ = JH$. Trên tia $HK$ lấy điểm $E$ sao cho $EK = KH$.

a)     Chứng minh $A$ là trung điểm của $DE$.

b)    Tứ giác $AJHK$ là hình gì? Vì sao?

c)     Chứng minh $BC = BD + CE$.

Lời giải chi tiết

a)     Xét $\Delta ADJ$ vuông tại $J$ và $\Delta AHJ$ vuông tại $J$ có:

$DJ = HJ$ (gt), $AJ$ là cạnh chung

Do đó $\Delta ADJ = \Delta AHJ$ (hai cạnh góc vuông)

Suy ra $AD = AH$ (hai cạnh tương ứng) và $\widehat {JAD} = \widehat {JAH}$ (hai góc tương ứng)

Tương tự ta cũng chứng minh được $\Delta AHK = \Delta AEk$ (hai cạnh góc vuông)

Suy ra $AH = AE$ (hai cạnh tương ứng) và $\widehat {KAH} = \widehat {KAE}$ (hai góc tương ứng)

Ta có:

$\widehat {JAD} + \widehat {JAH} + \widehat {KAH} + \widehat {KAE} = 2\left( {\widehat {JAH} + \widehat {KAH}} \right) = 2.\widehat {JAK} = 2.90^\circ  = 180^\circ$

Hay $\widehat {DAE} = 180^\circ$ nên ba điểm $D,A,E$ thẳng hàng

Lại có $AD = AH$ và $AH = AE$ nên $AD = AE$

Do đó $A$ là trung điểm của $DE$.

b)    Ta có $AB \bot HE$ tại $K$ nên $\widehat {AJH} = 90^\circ$

$AC \bot HE$ tại $K$ nên $\widehat {AKH} = 90^\circ$

Xét tứ giác $AJKH$ có:

$\widehat {AJH} = \widehat {JAK} = \widehat {AKH} = 90^\circ$ nên là hình chữ nhật.

c)     Xét tam giác $BDJ$ vuông tại $J$ và tam giác $BHJ$ vuông tại $J$ có:

$DJ = HJ$ (gt), $BJ$ là cạnh chung

Do đó $\Delta BDJ = \Delta BHJ$ (hai cạnh góc vuông)

Suy ra $BD = BH$ (hai cạnh tương ứng)

Tương tự, ta cũng có $\Delta CHK = \Delta CEK$ (hai cạnh góc vuông)

Suy ra $CH = CE$ (hai cạnh tương ứng)

Khi đó $BC = BH + CH = BD + CE$

Vậy $BC = BD + CE$.