Giải bài 4.37 trang 66 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho ba điểm $A( - 3;2),\,\,B(1;5)$ và $C(3; - 1).$

a)  Chứng minh rằng $A,\,\,B,\,\,C$ là ba đỉnh của một tam giác. Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác ấy.

b) Tìm tọa độ trực tâm $H$ của tam giác $ABC.$

c) Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$ Tìm tọa độ của $I.$

Lời giải chi tiết

a)      Ta có: $\overrightarrow {AB}  = (4;3)$ và $\overrightarrow {AC}  = (6; - 3)$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ không cùng phương

$\Rightarrow$ ba điểm $A,\,\,B,\,\,C$ không thẳng hàng

$\Rightarrow$ ba điểm $A,\,\,B,\,\,C$ là ba đỉnh của một tam giác.

Gọi $G$ là trọng tâm của $\Delta ABC$

$\Rightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ - 3 + 1 + 3}}{3} = \frac{1}{3}}\\{y = \frac{{2 + 5 - 1}}{3} = 2}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,G\left( {\frac{1}{3};2} \right)$

b)     Gọi $H(x;y)$ là trực tâm của $\Delta ABC$

Ta có: $\overrightarrow {BH}  = (x - 1;y - 5)$ và $\overrightarrow {CH}  = (x - 3;y + 1)$

Do $BH \bot AC$ và $CH \bot AB$

Nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC}  = 0}\\{\overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB}  = 0}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y - 5} \right) = 0}\\{4\left( {x - 3} \right) + 3\left( {y + 1} \right) = 0}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y =  - 3}\\{4x + 3y = 9}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 3}\end{array}} \right.$

Vậy $H(0;3).$

c)      Gọi $I(x;y)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC.$

Ta có: $\overrightarrow {IH}  = 3\overrightarrow {IG}$ $\Leftrightarrow$ $( - x;3 - y) = 3\left( {\frac{1}{3} - x;2 - y} \right) = \left( {1 - 3x;6 - 3y} \right)$

$\Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - x = 1 - 3x}\\{3 - y = 6 - 3y}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{2}}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.$

Vậy $I\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)$