Giải bài 44 trang 20 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) $y = {3^x} + {3^{ - x}}$ trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$;

b) $y = x.{e^{ - 2{{\rm{x}}^2}}}$ trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$;

c) $y = \ln \left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 3} \right)$ trên đoạn $\left[ { - 2;3} \right]$;

d) $y =  - 3{\rm{x}} + 5 + x\ln {\rm{x}}$ trên đoạn $\left[ {1;3} \right]$;

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $y' = {3^x}.\ln 3 - {3^{ - x}}.\ln 3$

Khi đó, trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$, $y' = 0$ khi $x = 0$.

$y\left( { - 1} \right) = \frac{{10}}{3};y\left( 0 \right) = 2;y\left( 2 \right) = \frac{{82}}{9}$.

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = \frac{{82}}{9}$ tại $x = 2$, $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = 2$ tại $x = 0$.

b) Ta có: $y' = {\left( x \right)^\prime }.{e^{ - 2{{\rm{x}}^2}}} + x.{\left( {{e^{ - 2{{\rm{x}}^2}}}} \right)^\prime } = {e^{ - 2{{\rm{x}}^2}}} + x.\left( { - 4{\rm{x}}} \right).{e^{ - 2{{\rm{x}}^2}}} = {e^{ - 2{{\rm{x}}^2}}}\left( {1 - 4{{\rm{x}}^2}} \right)$

Khi đó, trên đoạn $\left[ {0;1} \right]$, $y' = 0$ khi $x = \frac{1}{2}$.

$y\left( 0 \right) = 0;y\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{{2\sqrt e }};y\left( 1 \right) = \frac{1}{{{e^2}}}$.

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = \frac{1}{{2\sqrt e }}$ tại $x = \frac{1}{2}$, $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} y = 0$ tại $x = 0$.

c) Ta có: $y' = \frac{{{{\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 3} \right)}^\prime }}}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 3}} = \frac{{2{\rm{x}} + 2}}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 3}}$

Khi đó, trên đoạn $\left[ { - 2;3} \right]$, $y' = 0$ khi $x =  - 1$.

$y\left( { - 2} \right) = \ln 3;y\left( { - 1} \right) = \ln 2;y\left( 3 \right) = \ln 18$.

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;3} \right]} y = \ln 18$ tại $x = 3$, $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;3} \right]} y = \ln 2$ tại $x =  - 1$.

d) Ta có: $y =  - 3 + {\left( x \right)^\prime }\ln {\rm{x}} + x{\left( {\ln {\rm{x}}} \right)^\prime } =  - 3 + \ln {\rm{x}} + x.\frac{1}{x} = \ln {\rm{x}} - 2$

Khi đó, trên đoạn $\left[ {1;3} \right]$, $y' = 0$ không có nghiệm.

$y\left( 1 \right) = 2;y\left( 3 \right) = 3\ln 3 - 4$.

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = 2$ tại $x = 1$, $\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} y = 3\ln 3 - 4$ tại $x = 3$.