Giải bài 50 trang 110 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $ABCD$ là hình thoi cạnh $a$, $AA' \bot \left( {ABCD} \right)$, $AA' = 2a$, $AC = a$. Tính khoảng cách:

a) Từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {BCC'B'} \right)$.

b) Giữa hai mặt phẳng $\left( {ABB'A'} \right)$ và $\left( {CDD'C'} \right)$.

c*) Giữa hai đường thẳng $BD$ và $A'C$.

Lời giải chi tiết

a) Gọi $H$ là trung điểm của cạnh $BC$. Tam giác $ABC$ đều ($AB = BC = AC = a$) nên ta suy ra $AH \bot BC$.

Do $BB' \bot \left( {ABCD} \right)$, ta suy ra $BB' \bot AH$.

Như vậy, do $AH \bot BC$, $BB' \bot AH$ nên $AH \bot \left( {BCC'B'} \right)$, điều này có nghĩa $H$ là hình chiếu của $A$ trên mặt phẳng $\left( {BCC'B'} \right)$. Vậy khoảng cách từ $A$ đến $\left( {BCC'B'} \right)$ là đoạn thẳng $AH$.

Tam giác $ABC$ đều cạnh $a$, đường cao $AH$ nên $AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Vậy khoảng cách từ $A$ đến $\left( {BCC'B'} \right)$ là $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

b) Do $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp, nên $\left( {ABB'A'} \right)\parallel \left( {DCC'D'} \right)$. Suy ra khoảng cách giữa hai mặt phẳng này cũng bằng khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {DCC'D'} \right)$.

Gọi $I$ là trung điểm của cạnh $DC$. Tam giác $ADC$ có $AB = DC = AC = a$ nên nó là tam giác đều. Suy ra $AI \bot DC$ và $AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Do $DD' \bot \left( {ABCD} \right)$, ta suy ra $DD' \bot AI$. Như vậy, do $AI \bot DC$, $DD' \bot AI$ nên $AI \bot \left( {DCC'D'} \right)$. Điều này có nghĩa $I$ là hình chiếu của $A$ trên mặt phẳng $\left( {DCC'D'} \right)$. Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left( {ABB'A'} \right)$ và $\left( {DCC'D'} \right)$, bằng khoảng cách từ $A$ trên mặt phẳng $\left( {DCC'D'} \right)$, là đoạn thẳng $AI$, và bằng $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

c) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Do $ABCD$ là hình thoi nên $AC \bot BD$ và $AO = \frac{{AC}}{2} = \frac{a}{2}$

Do $AA' \bot \left( {ABCD} \right)$, nên $AA' \bot BD$. Như vậy, do $AC \bot BD$, $AA' \bot BD$ nên $\left( {AA'C} \right) \bot BD$.

Gọi $E$ là hình chiếu của $O$ trên $A'C$. Vì $OE \subset \left( {AA'C} \right)$, $\left( {AA'C} \right) \bot BD$ nên $OE \bot BD$. Như vậy  $OE$ là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng $BD$ và $A'C$, điều này có nghĩa khoảng cách giữa $BD$ và $A'C$ là đoạn thẳng $OE$.

Tam giác $CEO$ và $CAA'$ có chung góc $C$ và có góc vuông $\widehat {CEO} = \widehat {CAA'}$ nên chúng đồng dạng với nhau. Suy ra $\frac{{OE}}{{AA'}} = \frac{{CO}}{{CA'}} \Rightarrow OE = \frac{{AA'.CO}}{{CA'}}$

Tam giác $AA'C$ vuông tại $A$, nên $A'C = \sqrt {A'{A^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {a^2}}  = a\sqrt 5$.

Do đó $OE = \frac{{AA'.OC}}{{A'C}} = \frac{{2a.\frac{a}{2}}}{{a\sqrt 5 }} = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}$.