Giải bài 53 trang 117 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Trên cạnh $SA$ lấy điểm $M$ sao cho $MA = 2MS$. Mặt phẳng $\left( {CDM} \right)$ cắt $SB$ tại $N$. Tỉ số $\frac{{SN}}{{SB}}$ bằng:

A. $\frac{1}{2}$                             

B. $\frac{1}{3}$                    

C. $\frac{2}{3}$                    

D. $\frac{3}{4}$

Lời giải chi tiết

Ta thấy rằng $M \in \left( {CDM} \right) \cap \left( {SAB} \right)$ và $N$ là giao điểm của $\left( {CDM} \right)$ và $SB$. Do $SB \subset \left( {SAB} \right)$ nên $N$ là điểm chung của hai mặt phẳng $\left( {CDM} \right)$ và $\left( {SAB} \right)$. Từ đó ta suy ra $MN$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {CDM} \right)$ và $\left( {SAB} \right)$.

Nhận xét rằng $AB\parallel CD$, $AB \subset \left( {SAB} \right)$, $CD \subset \left( {CDM} \right)$, $MN$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {CDM} \right)$ và $\left( {SAB} \right)$, ta suy ra $MN\parallel AB$.

Theo định lí Thales, ta có $\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SB}}$. Do $MA = 2MS \Rightarrow \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{1}{3}$.

Như vậy $\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{1}{3}$. Đáp án đúng là B.